等差数列及其前n项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．基础知识1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第__________项起，每一项与它的前一项的差等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母__________表示，定义的表达式为__________．(2)等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么__________叫做a与b的等差中项且__________．(3)通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝__________.2．等差数列的前n项和已知条件首项a1，末项an首项a1和公差d选用公式Sn＝Sn＝na1＋d3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}是__________，公差为__________．(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是__________．(5)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为__________的等差数列．(6)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n组成新的__________．(7)若项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)，且S偶－S奇＝__________，＝.若项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)，且S奇－S偶＝__________，＝__________.(8)关于等差数列的规律①等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m≠n)，则am＋n＝0.②等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．③等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.④若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝.4.等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；第1页共3页(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．典型例题一、等差数列的判定与证明【例1】已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．二、等差数列的基本量的计算【例2】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．三、等差数列性质及最值问题【例3－1】(1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n及a9＋a10；(2)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求的值．【例3－2】已知{an}为等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于多少？方法提炼1．解决等差数列问题，熟练掌握等差数列的有关性质，寻找项与前n项和之间的关系是解题关键．2．在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题：(1)a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm.(2)当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题．等差数列主观题的规范解答【典例】(12分)(2012广州模拟)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.第2页共3页(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.规范解答：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有解得(3分)所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.(6分)(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝·＝·，(9分)所以Tn＝·＝·＝，(11分)即数列{bn}的前n项和Tn＝.(12分)巩固提升1．(2012辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()．A．12B．16C．20D．242...
