高等代数(2)单元测验一姓名学号得分一、(15分)选择题,将正确选项填在括号[]里.(1)是数域上的维向量空间,设,,是中的个线性无关的向量,与它不等价的命题是[].A.对任意不全为零的常数必有;B.,,中任意向量都不能由其余向量线性表示;C.,且对任意,,不能由,,,线性表示;D.中的任意向量都可由,,线性表示.(2)设,,令,,,则有[].A.,,必线性无关;B.,,必线性相关;C.仅当,线性无关时,,,线性无关;D.仅当,线性相关时,,,线性相关.(3)已知向量组,,的极大无关组里含有个向量,以下命题不正确的是[].A.,,中至少有一个含有个向量的部分组线性无关;B.,,中任何含有个向量的部分组都线性无关;C.,,中任何含有个向量的部分组都线性相关;D.,,中含有个向量的线性无关部分组与,,可互相线性表示;二、(20分)判断,在正确的命题后面打√,错误的命题后面打×.(1)任何一个向量空间都不可能与它的某个真子空间同构.[](2)令表示数域上一切次数的多项式连同零多项式所组成的向量空间,则它的维数是.[](3)设是数域上的行列的矩阵,则的行空间和列空间相同且具有相同的维数.[](4)所有的维向量空间都是同构的.[]三、(10分)设是数域上的阶方阵,,若,,试证明线性无关.四、(15分)设在,,,中不能由,,,线性表示,而是,,的线性组合,证明可以由,,,线性表示.五、(15分)求齐次线性方程组的一个基础解系.六、(25分)已知,,,是四维向量空间的一个基,,,,.(1)证明,,,是的一个基;(2)求由基,,,到基,,,的过渡矩阵;(3)求在基,,,和基,,,下坐标相同的向量.
