课时分层作业(二十四)抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A．B．1C．D．C[由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝＋＝xA＋xB＋p＝3，故xA＋xB＝3－p＝，故线段AB的中点到y轴的距离为．]2．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A．2B．1C．4D．8C[抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4．]3．抛物线y2＝4x的焦点F，点P为抛物线上的点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时面积为()A．2B．4C．6D．4D[据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线，设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4．]4．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是()A．1B．2C．3D．4B[由题意知，直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，∴A到准线x＝－的距离为xA＋，B到准线x＝－的距离为xB＋，∴线段AB的中点到准线的距离为＋，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝1，1即xA＋xB＝2，由抛物线定义，|AF|＝＋xA，|BF|＝＋xB，∴|AB|＝xA＋xB＋p＝4，即xA＋xB＝4－p，∴4－p＝2，即p＝2．]5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2A[①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，∴x1x2＝；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4．②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝，∴y1y2＝－p2，故＝－4．]二、填空题6．已知点A(0，)，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|∶|MN|＝1∶2，则抛物线的方程是．y2＝4x[依题意F点的坐标为，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|， |FM|∶|MN|＝1∶2，∴|KN|∶|KM|＝∶1＝，∴p＝2，∴p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x．7．已知直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PK，QS，垂足分别为K，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为KS的中点，则|MF|的值为．2[如图，根据抛物线的定义，有|PF|＝|PK|，|QF|＝|QS|，易知△KFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PKSQ中，容易求得|KS|＝2．故|FM|＝|KS|＝．]8．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为．x－y－1＝0[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0．]三、解答题9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解]依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋p．设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8．①又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，3得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p．将其代入①，得p＝2．∴所求的抛物线方程为y2＝4x．当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x．综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．(1)求y1y2的值．(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．[解](1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2(m≠0)，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8．(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，＝×＝×＝，设...
