5.3实数与向量的积(二)VIP专享VIP免费

5.35.3实数与向量的积实数与向量的积（二）（二）25年2月22日教学目标：1.了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面内任一向量用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解。1、向量加法的平行四边形法则2、向量共线定理abababOBAC·“”“”babaa向量和非零向量共线等价于有且只有一个实数，使得(0)一、复习引入：PfWV1V2VV1V2Va2e研究1e二、新课教学：设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量,研究a与e1、e2之间的关系。e1e2a12.OOAOBOCCOBOAM�在平面内任取一点，作，，过点作平行于直线的直线，与直线交于eeaABOCMN1211221122,,COAOANOMONOCDMON��过点作平行于直线的直线，与直线交于，则有且只有实数、使得由于则eeaee平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是a,ｅ１,ｅ２唯一确定的数量a=λ1e1+λ2e212122.53、已知向量、，求例作向1量eeeee1e2ABCO-2.5e13e2作法：①任取一点O，作OA＝-2.5e1OB=3e2②作ABCDOC�于是即为所求作的向量,,ABCDMABADMAMBMCMD��如图的两条对角线相交于点，且用、表示、、和例2、ababABCDACABADDBABAD��解：在中abab1212112211221122MAACMBDB��（+）（）abababab112211221111222211112222MCACMDBDMDMB���（）（）=-或（）=-a+bababababab21.33Abc52.33Bcb21.33Cbc12.33Dbc,.ABAC�cb2,BDDC�例3.(08.全国Ⅰ)在△ABC中，若点D则AD�满足22,(),33BCACABBDBC��bcbc221(),333ADABBD�cbcbc解析：画图易知故选A．例4已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：4OAOBOCODOE��证明：∵E是对角线AC和BD的交点证明：∵E是对角线AC和BD的交点AEECCEBEEDDE�∴在△OAE中，OAAEOE�同理ODDEOE�OCCEOE�OBBEOE�以上各式相加，得4OAOBOCODOE�()OAOBAPtABtROAOBOP��如图、不共线，用、表5：示例OABP())(1)ADtABOPOAAPOAtABOAtOBOAOAtOBtOAtOAtOB������解：平面内三点P、A、B共线的充要条件是：(1)OPxOAyOBxy�1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μR)∈D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、uR)∈2.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定练习：3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于A.3B.-3C.0D.24.若a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ=,μ=.5.已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=.6.已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线).参考答案：1.D2.B3.A4.005.06.不共线不共线小结平面向量基本定理：其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。a=λ1e1+λ2e2在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.