第九章第八节1．(2014·福州质检)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：选A设圆心C(x，y)，由题意得＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8.故选A.2．已知圆O：x2＋y2＝4，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，M在直线PP1上，且P1M＝2P1P，则动点M的轨迹方程是()A．4x2＋16y2＝1B．16x2＋4y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D由题意可知P是MP1的中点，设M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则又x＋y＝4，故2＋y2＝4，即＋＝1.故选D.3．已知向量a＝(x＋1，－ky)，b＝(y，x－1)，且a∥b，则点P(x，y)的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：选C依题意得(x＋1)·(x－1)＋ky·y＝0，故x2＋ky2＝1，当k＝1时，点P(x，y)的轨迹为圆；当k＞0，且k≠1时，点P(x，y)的轨迹为椭圆；当k＜0时，点P(x，y)的轨迹为双曲线．故选C.4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则P点的轨迹方程是()A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)解析：选A设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.又点Q(－x，y)，由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入上式，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．故选A.5．(2014·郑州质检)已知A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1解析：选A设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． P是线段AB的中点，∴. A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，∴y1＝x1，y2＝－x2.∴.又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12，∴12y2＋x2＝12，∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.故选A.6．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意，知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差，得＝＝＝，又直线AB的斜率是＝1，所以＝1.将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是－＝1.故选B.7．(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．则曲线C1的方程为________．解析：y2＝20x由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，其方程为y2＝20x.8．已知点P是双曲线－y2＝1上的一个动点，F1，F2是双曲线的两个焦点，则△PF1F2的重心M的轨迹方程是________．解析：x2－9y2＝1(y≠0)设P，M两点的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，由题意知双曲线的焦点坐标为(－，0)，(，0)， △PF1F2存在，∴y1≠0，∴即① y1≠0，∴y≠0， 点P在双曲线上，将①式代入已知曲线方程得－(3y)2＝1(y≠0)，所以所求重心M的轨迹方程为x2－9y2＝1(y≠0).9．(2014·银川一中模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的方程为________．解析：x2－＝1抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为直线x＝－2. 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，∴双曲线的右焦点坐标为F(2,0)，∴双曲线的左焦点坐标为F′(－2,0)， |PF|＝5，∴点P的横坐标为3，代入抛物线y2＝8x，y＝±2.不妨设P(3,2)，∴根据双曲线的定义|PF′|－|PF|＝2a，得出－5＝2a，∴a＝1. c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为x2－＝1.10．(2014·南昌模拟)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其...
