北京师大附中2007——2008学年度高三第一轮复习高三数学(文)统练2考试范围：函数的有关概念、函数的性质、反函数及二次函数；考试时间：2007.9.11第Ⅰ卷（试题）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2－1＞0}，B={x|log2x＞0}，则A∩B等于（A）A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|x＜－1D．{x|x＜－1或x＞12．已知p是q的必要不充分条件，q是r的充分不必要条件，p是r的充分不必要条件，则r是q的（B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=的定义域是（C）A．(0，+∞)B．(－∞，0)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(－∞，－1)∪(－1，0)∪(0，+∞)4．函数y=+1（x≥1）的反函数是（B）A．y=x2－2x+2（x＜1B．y=x2－2x+2（x≥1C．y=x2－2x（x＜1D．y=x2－2x（x≥15．今有一组数据如下：1.9933.0024.0015.0326.1211.5014.4137.49812.0417.93现准备用下列函数的一个近似地表示数据所满足的规律，其中最接近的一个是（C）A．s=B．s=C．s=D．s=－2t－26．已知函数f(x)=a－，若f(x)为奇函数，则f(3)的值是（D）A．B．C．D．7．函数f(x)=x3－3x+1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（C）A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－198．若函数f(x)=，则该函数在(－∞，+∞)上是（A）A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值9．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)=x2+2x，设a=f()，b=f()，c=f()，则（A）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b10．若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0，成立，则a的最小值是（C）A．0B．－2C．D．－3二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．已知函数f(x)=lg，若f(a)=，则f(－a)=（）12．若函数f(x)=a|x－b|+2在[0，+∞上为减函数，则实数a、b的取值范围是.a＜0，b≤013．已知曲线y=x3+，则过点P(2，4)的切线方程是.4x－y－4=014．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=－5，则f(f(5))=.15．已知a、b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a－b=.2（a=1，b=3或a=－1，b=－7）16．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③＞0；④f()＜.当f(x)=10x时，上述结论中正确结论的序号是.①、③、④.三、解答题（共3小题，每小题12分，共36分）17．设函数f(x)=tx2+2tx+t2－1（x∈R，t＞0）.（I）求f(x)的最小值h(t)；（II）若h(t)＜－2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.解：（I）f(x)=tx2+2tx－1=t(x+1)2+t2－t－1.∵x∈R，t＞0，∴h(x)=－t－1.（II）由（I）可知，h(t)＜－2t+m，得t2－t－1＜－2t+m即m＞t2+t－1=(t+)2－.∴t∈(0，2)时，有－1＜t2+t－1＜5，故m＞t2+t－1对t∈(0，2)恒成立，必须m≥5.18．用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？【分析】：解：设容器高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)=x(90－2x)(48－2x)=4x3－276x2+4320x.（0＜x＜24.求V(x)的导数，得：(x)=12x2－552x+4320=12(x2－46x+360)=12(x－10)(x－36).令(x)=0，得x1=10，x2=36（舍去），当0＜x＜10时，(x)＞0，那么V(x)为增函数；当10＜x＜24时，(x)＜0，那么V(x)为减函数，因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10×(90－20)×(48－20)=19600（cm3），答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.19．设f(x)=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)·f(1)＞0，求证：（I）方程f(x)=0有实根；（II）－2＜＜－1；（II）设x1，x2是方程f(x)=0的两个实根，则≤|x1－x2|＜.分析：本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.证明：（I）若a=0，则b=－c，f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=－c2≤0，与已知矛盾，∴a≠0.方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4(b2－3ac)，由条件a+b+c=0，消去b，得：△=4(a2+c2－ac)=4[(a－c)2+c2]＞0.故方程f(x)=0有实根.（II）由f(0)f(1)＞0，得：c(3a+2b+c)＞0，由条件(a+b)(2a+b)＜0，∵a2＞0，∴(1+)(2+)＜0，故－2＜＜－1.（III）由条件，知：x1+x2=，x1x2==，∴(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=(+)2+.∵－2＜＜－1，∴≤(x1－x2)2＜，故≤|x1－x2|＜.
