抛物线及其标准方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.抛物线y2=4px(p>0)上一点M到焦点的距离为a,则M到y轴的距离为()A.a-pB.a+pC.a-D.a+2p【解析】选A.可先求M到准线的距离为a,又准线方程为x=-p,所以M到y轴距离为a-p.2.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线标准方程是()A.y2=21xB.x2=12yC.y2=xD.x2=y【解析】选B.由=3得p=6,且焦点在y轴正半轴上,故x2=12y.3.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是()A.y2=-x或x2=yB.y2=x或x2=yC.y2=x或x2=-yD.y2=-x或x2=-y【解析】选A.方程可化为a(x+2)-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-2,3),设抛物线方程y2=ax(a≠0),或x2=by(b≠0),将(-2,3)代入,可得a=-,b=.4.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是()A.B.C.-D.-【解析】选A.由条件知a≠0,则y=ax2可以变形为x2=y,由于准线是y=-1,可知a>0,抛物线标准方程可设为x2=2py(p>0),2p=,则p=,又由于-=-1,知p=2,所以=2,解得a=.1【补偿训练】抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.B.C.|a|D.-【解析】选B.因为y2=ax,所以p=,即焦点到准线的距离为.5.(2017·大连高二检测)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线方程为()A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=±8x【解析】选D.由题意知抛物线的焦点为双曲线-=1的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有()A.|P1F|+|P2F|=|P3F|B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|【解析】选C.因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,得2=x1++x3+.即2|P2F|=|P1F|+|P3F|.7.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=()A.2∶B.1∶22C.1∶D.1∶3【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).由条件知tanα=,所以sinα=,由抛物线的定义知|MF|=|MG|,所以==sinα==.8.(2017·重庆高二检测)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.4【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积.【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,从而yP=±2,所以=|OF|·|yP|=××2=2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.动点P到直线x+4=0的距离比它到点M(2,0)的距离大2,则点P的轨迹方程是________.【解析】由题可知,动点P到直线x+2=0的距离与它到点M(2,0)的距离相等,利用定义可求出抛物线方程为y2=8x.答案:y2=8x10.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为________.【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F,准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即-(-9)=10,3所以p=2,故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9,y)代入抛物线方程,得y=±6,所以M(-9,6)或M(-9,-6).答案:(-9,-6)或(-9,6)【补偿训练】(2017·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为,则点M到抛物线焦点的距离为________.【解析】设M(x,y),则由得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)准线方程x=-.(2)焦点到准线的距离为2.(3)经过点(-3,-5).【解析】(1)由-=-,得p=,所以所求抛物线的方程是y2=x.(2)p=2,有四种形式的标准方程,分别是y2=4x,y2=-4x,x2=4y,x2=-4y.(3)当抛物线的方程为y2=-2px(p>0)时,将点(-3,-5)代入得p=,即抛物线的方程为y2=-x;当抛物线的方程为x2=-2py(p>0)时,将点(-3,-5)代入得p=,即x2=-y.12.(2017·邢台高二检测)如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)4【解题指南】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得P点坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,再由抛物线方程求出相关...
