学业分层测评(六)第2章2.1.3推理案例赏析(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.如图2119所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是________.【导学号：97220016】图2119【解析】由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a＝3＋3＝6.【答案】62.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝33＝43＝….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m＝________.【解析】根据分裂特点，设最小数为a1，则ma1＋×2＝m3，∴a1＝m2-m＋1. a1为奇数，又452＝2025，∴猜想m＝45.验证453＝91125＝.【答案】453.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等.【答案】夹在两个平行平面间的平行线段相等4.观察下面不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜想第n个不等式为________.【解析】当n≥2时，则不等式左端就为1＋＋＋…＋，而右端的分母正好是n，分子是2n-1，因此可以猜想，n≥2时，满足的不等式为1＋＋＋…＋<.故可归纳式子为：1＋＋＋…＋<(n≥2).【答案】1＋＋＋…＋<(n≥2)5.若a1，a2，a3，a4∈R＋，有以下不等式成立：≥，≥，≥.由此推测成立的不等式是_________________________________.(要注明成立的条件)【答案】≥(a1，a2，a3，…，an∈R＋)6.观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…则52015的末四位数字为________.【解析】 55＝3125,56＝15625,57＝78125，58末四位数字为0625,59末四位数字为3125，510末四位数字为5625,511末四位数字为8125，1512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52015＝54×503＋3末四位数字为8125.【答案】81257.(2016·湖北调研)如图2120①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案.现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小圆圈个数为f(n)，则图2120(1)f(5)＝________；(2)f(2015)的个位数字为________.【解析】观察规律可知：f(5)＝4×5＋1＝21，f(2015)＝2014×2015＋1，它的个位数字是1.【答案】(1)21(2)18.(2016·江西稳派调研)将2n按如表所示的规律填在5列的数表中，设22015排在数表的第n行，第m列，则第m-1列中的前n个数的和Sn＝________.212223242827262529210211212216215214213……………【解析】由于2015＝4×503＋3，故22015位于表格的第504行第4列，所以n＝504，m＝4.所以Sn＝＝.【答案】二、解答题9.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【证明】(1) an＋1＝Sn＋1-Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1-Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故＝2·，数列是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)知＝4·(n≥2).∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn-1＝4an(n≥2).又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1，∴对任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.10.在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体PABC内任意一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别2为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VPABC＝VMABC＋VMPAB＋VMPAC＋VMPBC＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝a2，VPABC＝a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值).能力提升]1.(2016·盐城高二期终)已知＝2，＝3，＝4，…类比这些等式，若＝6(a，b均为正实数)，则a＋b＝______.【解析】类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62-1＝35.所以a＋b＝41.【答案】412.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABC...
