课时分层作业(二十二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3,0)D．(1,3)B[由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.]2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A．B．C．D．B[易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]3．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为()A．9x－16y＋7＝0B．16x＋9y－25＝0C．9x＋16y－25＝0D．16x－9y－7＝0C[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A．B．C．D．C[如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有1|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c.又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝＝.]5．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，两式相减得＋＝0，即＋＝0⇔＋××＝0，即a2＝2b2，c2＝9，a2＝b2＋c2，解得：a2＝18，b2＝9，方程是＋＝1，故选D.]二、填空题6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]7．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A、B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________.[由＋＝1知，焦点F1(－1,0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝1得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝.由定义有，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝.]8．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线PA2斜率的取值范围是________．[由椭圆C：＋y2＝1的方程可得a2＝2，b2＝1，由椭圆的性质可知：k·k＝－，∴k＝， k∈[1,2]，则k∈.]三、解答题9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．(1)求实数b的取值范围；(2)当b＝1时，求|AB|.2[解](1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，解得－＜b＜.所以b的取值范围为(－，)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－.所以y1＝1，y2＝－.所以|AB|＝＝.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．[解](1)由题意得解得c＝，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝＝，又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.11．(多选题)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()3A．必在圆x2＋y2＝1外B．必在圆x2＋y2＝上C．必在圆x2＋y2＝2内D．必在圆x2＋y2＝上ABC[e＝⇒＝⇒c＝，＝⇒＝⇒＝⇒b＝a.∴ax2＋bx－c＝0...
