课时作业(二十二)复数代数形式的加减运算及其几何意义A组基础巩固1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3B．2C．1D．－1解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i. z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0.∴a＝－1.答案：D2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则P2P1对应的复数为()A．－8＋6iB．8－6iC．8＋6iD．－2－2i解析：由复数减法的几何意义，知P2P1对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i，故选B.答案：B3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于()A．－3B．3C．－3iD．3i解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，所以又因为|z|＝＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i.答案：D4．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是()A．3B．4C．5D．6解析：因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.答案：D5．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是()A．圆B．半圆C．直线D．射线解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|得＝，化简可得3x－4y＝0，所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线．答案：C6．已知复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝__________.解析：z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)＝(－m)＋(m2－2m)i.因为z1＋z2＞0，所以z1＋z2为实数且大于0，所以解得m＝2.答案：27．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝__________.解析：z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，由复数相等的充要条件，得解得故a＋b＝3.答案：38．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cosθ＋i(－4＋5sinθ)，则x2＋y2的最大值是__________．解析： x＋yi＝(3＋5cosθ)＋i(－4＋5sinθ)，∴x2＋y2＝(3＋5cosθ)2＋(－4＋5sinθ)2＝50＋30cosθ－40sinθ＝50＋50cos(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.∴(x2＋y2)max＝50＋50＝100.答案：1009．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．解析：(1) 向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，1∴向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又 OC＝OA＋AC，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. AD＝BC，∴向量AD对应的复数为3－i，即AD＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴解得∴点D对应的复数为5.(2) BA·BC＝|BA||BC|cosB，∴cosB＝＝＝＝. 0＜B＜π，∴sinB＝，∴S＝|BA||BC|sinB＝××＝7，∴平行四边形ABCD的面积为7.B组能力提升10．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.11．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值．解析：因为z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，所以z1－z2＝(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)i＝＋i，所以两式平方相加得(cosα－2cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)＝2－2cos(α＋β)＝2＋2＝1，即2－2cos(α＋β)＝1，所以cos(α＋β)＝.12．已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2及|z1－z2|.解析：由于|z1＋z2|＝＝1.设z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为OA，OB，OC，则|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，半径为1的圆上，如图．方法一：由余弦定理易得：cos∠AOC＝＝，故∠AOC＝60°，又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形，∴▱OACB为菱形，且△BOC，△COA都是等边三角形，即∠AOB＝120°.又 OC与x轴正半轴的夹角为60°，∴点A在x轴上，即A(1,0)．而xB＝|OB|cos120°＝－，yB＝|OB|sin120°＝，∴点B的坐标为.∴或∴|z1－z2|＝＝.方法二： |z...
