课时分层作业(七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列D[由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．]2．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是()A．1B．2C．D．C[a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×＝，所以a3a6＋a4a5＝.]3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于()A．10B．25C．50D．75B[法一：因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，所以a8·a9·a10·a11＝52＝25.法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，所以a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(aq17)2＝25.]4．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于()A．32B．16C．12D．8B[＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(23)＝24＝16.]5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝()A．8B．4C．16D．12A[因为a3a11＝4a7＝a，∴a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)，故b7＝a7＝4＝(b5＋b9)，即b5＋b9＝8.]二、填空题6．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.[因为a6a10＝a，a3a5＝a，所以a＋a＝41.又因为a4a8＝5，an>0，所以a4＋a8＝＝＝.]7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．3或27[设此三数为3，a，b，则解得或所以这个未知数为3或27.]8．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列．且，，成等差数列，则＋的值是________．1[由题意可得所以y＝，所以2＝135xz，化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝.]三、解答题9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．[解]由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，所以a＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，所以d＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4,2,8.10．已知{an}为等比数列．(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．[解](1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.[能力提升练]1．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于()A．32B．34C．66D．64C[依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66，故选C．]2．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于()A．B．或C．D．以上都不对B[不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2，∴等比数列为，x1，x2，4，∴q3＝＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴＝＝.若设是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝，m＝3，则＝．]3．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.2n[∵{an}单调递增，∴q＞0，又a＝a10＞0，2∴an＞0，q＞1，由条件得2＝5，即2＝5，∴q＝2或q＝(舍)，由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q＝2，故an＝2n.]4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.－[因为＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝＝＝－.]5．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列(n≥2，n∈N＋)的前n项和．[解](1)设等比数列{an}的公比为q，因为a＝9a2a6＝9a，所以q2＝＝，因为an>0，所以q>0，所以q＝，因为2a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝，所以an＝n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝log3(a1·a2·…·an)＝log31＋2＋3＋…＋n＝－.设数列的前n项和为Sn，则Sn＝－2＝－2＝－2＝－.3
