课时分层作业(二十五)直线与圆锥曲线的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，过点F作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A，O为坐标原点，则S△OAF＝()A．3B．3C．2D．D[双曲线－＝1的右焦点为F(3,0)，F到渐近线x＋2y＝0的距离FA＝＝．则AO＝＝＝2．则S△OAF＝FA·OA＝××2＝．]2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72A[由消去y得，x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，∴或∴|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，∴|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，故选A．]3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A．B．C．D．B[椭圆的方程可化为＋＝1，∴F(－，0)．又 直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为y＝x＋．由得7x2＋12x＋8＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|AB|＝＝．]4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．81C．16D．32B[因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，所以K(－2,0)，设A(x0，y0)，如图所示，过点A向准线作垂线，垂足为B，则B(－2，y0)．因为|AK|＝|AF|，又|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，所以由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得y＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4，所以S△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8．]5．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为()A．e－1B．1－eC．e2－1D．1－e2C[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，所以kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1．]二、填空题6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝．0或1[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消y得：k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．]7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为．26[由＋＝1可得F(－1,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP·FP取得最大值6．]8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为．[设双曲线方程为－＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－．∴·＝－1，整理得b2＝ac．∴c2－a2－ac＝0．两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．]三、解答题9．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．[解](1)如图所示，由消去x得，ky2＋y－k＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－． A，B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2． kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB．(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0．令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)． S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，3∴S△OAB＝·1·＝． S△OAB＝，∴＝，解得k＝±．10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b>0)，离心率是，原点与C和直线x＝1的交点围成的三角形面积是．若直线l过点，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证∠ADB是定值．[证明]由题意可知：e＝＝＝，所以a2＝b2，由直线x＝1与椭圆相交，交点P(1，y)(y＞0)，由题意可知：×1×2y＝，解得y＝，将P代入椭圆方程：＋＝1，解得b2＝3，a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1，即4y2＋3x2－12＝0．所以D点坐标为(2,0)，当直线l的斜率不存在时，A，B，∴DA·DB＝0，∴∠ADB＝．当直线l的斜率存在时，设直线l：x＝my＋，由得(196＋147m2)y2＋84my－576＝0， l与C有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴Δ＞0，且y1y2＝，y1＋y2＝，∴x1＋x2＝＋，x1x2＝＋， DA＝(x1－2，y1)，DB＝(x2－2，y2)，DA·DB＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2＋4，∴＋＝＝0，∴∠ADB＝．综上，∠ADB＝．11．(多...
