1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质[A基础达标]1.若(x3+)n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大,则该展开式中的常数项为()A.210B.252C.462D.10解析:选A.由于展开式中只有第6项的系数最大,且其系数等于其二项式系数,所以展开式项数为11,从而n=10,于是得其常数项为C=210.2.已知(+)n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于()A.4B.5C.6D.7解析:选C.令x=1,各项系数和为4n,二项式系数和为2n,故有=64,所以n=6.3.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5=()A.32B.1C.-243D.1或-243解析:选B.展开式的通项为Tr+1=(-1)rC·a5-r·xr,令r=2,则a2=(-1)2C·a3=80,即a=2,故(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,得a0+a1+…+a5=1.4.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=()A.45B.55C.70D.80解析:选C.因为(1+)5=C()0+C()1+C()2+C()3+C()4+C()5=1+5+20+20+20+4=41+29,由已知可得41+29=a+b,所以a+b=41+29=70.5.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于()A.2nB.C.2n+1D.解析:选D.令x=1得3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n.①令x=-1得1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n.②①+②得3n+1=2(a0+a2+…+a2n),所以a0+a2+…+a2n=.故选D.6.在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于________.解析:依题设,得2n=256,解得n=8.通项C·x·=C(-2)r·x,令=0,得r=2.故常数项为C(-2)2=112.答案:1127.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.解析:设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②1①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.答案:38.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a11(x-1)11,则a1+a2+a3+…+a11的值为________.解析:令x=1,得a0=-2.令x=2,得a0+a1+a2+…+a11=0.所以a1+a2+a3+…+a11=2.答案:29.已知(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.(1)求a1+a2+…+a10;(2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.解:(1)令f(x)=(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a0=f(0)=25=32,又a0+a1+…+a10=f(1)=0,故a1+a2+…+a10=-32.(2)(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=f(1)f(-1)=0.10.已知(x+)n展开式的二项式系数之和为256.(1)求n;(2)若展开式中常数项为,求m的值;(3)若(x+m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值情况.解:(1)二项式系数之和为2n=256,可得n=8.(2)设常数项为第r+1项,则Tr+1=Cx8-r()r=Cmrx8-2r,故8-2r=0,即r=4,则Cm4=,解得m=±.(3)易知m>0,设第r+1项系数最大.则,化简可得≤r≤.由于只有第6项和第7项系数最大,所以即所以m只能等于2.[B能力提升]11.若(1-2x)2017=a0+a1x+…+a2017x2017(x∈R),则++…+的值为()A.2B.0C.-2D.-1解析:选D.(1-2x)2017=a0+a1x+…+a2017x2017,令x=,则(1-2×)2017=a0+++…+=0,其中a0=1,所以++…+=-1.12.(2018·合肥模拟)487被7除的余数为a(0≤a<7),则的展开式中x-3的系数为()A.4320B.-4320C.20D.-20解析:选B.因为487=(49-1)7=C·497-C·496+…+C·49-1,所以487被7除的余数为26,所以a=6.所以的展开式的通项为Tr+1=C·(-6)r·x6-3r,令6-3r=-3,得r=3,所以的展开式中x-3的系数为C·(-6)3=-4320.13.已知(x+3x2)n的展开式中,各项系数的和比它的二项式系数的和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解:(1)令x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n,又展开式中二项式系数的和为2n,所以22n-2n=992,解得n=5,所以展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项,所以T3=C(x)3(3...