高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质[A基础达标]1．若(x3＋)n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A．210B．252C．462D．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.2．已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4B．5C．6D．7解析：选C.令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝64，所以n＝6.3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝()A．32B．1C．－243D．1或－243解析：选B.展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·a5－r·xr，令r＝2，则a2＝(－1)2C·a3＝80，即a＝2，故(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1.4．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．45B．55C．70D．80解析：选C.因为(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，由已知可得41＋29＝a＋b，所以a＋b＝41＋29＝70.5．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB.C．2n＋1D.解析：选D.令x＝1得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n.①令x＝－1得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n.②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，所以a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.6．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解析：依题设，得2n＝256，解得n＝8.通项C·x·＝C(－2)r·x，令＝0，得r＝2.故常数项为C(－2)2＝112.答案：1127．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②1①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，所以a＝3.答案：38．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．解析：令x＝1，得a0＝－2.令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.答案：29．已知(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a1＋a2＋…＋a10；(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a0＝f(0)＝25＝32，又a0＋a1＋…＋a10＝f(1)＝0，故a1＋a2＋…＋a10＝－32.(2)(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝f(1)f(－1)＝0.10．已知(x＋)n展开式的二项式系数之和为256.(1)求n；(2)若展开式中常数项为，求m的值；(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.(2)设常数项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx8－r()r＝Cmrx8－2r，故8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±.(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．则，化简可得≤r≤.由于只有第6项和第7项系数最大，所以即所以m只能等于2.[B能力提升]11．若(1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－2D．－1解析：选D.(1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017，令x＝，则(1－2×)2017＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.12．(2018·合肥模拟)487被7除的余数为a(0≤a＜7)，则的展开式中x－3的系数为()A．4320B．－4320C．20D．－20解析：选B.因为487＝(49－1)7＝C·497－C·496＋…＋C·49－1，所以487被7除的余数为26，所以a＝6.所以的展开式的通项为Tr＋1＝C·(－6)r·x6－3r，令6－3r＝－3，得r＝3，所以的展开式中x－3的系数为C·(－6)3＝－4320.13．已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n＝22n，又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n－2n＝992，解得n＝5，所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，所以T3＝C(x)3(3...