课后提升训练二导数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·天津高二检测)已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x=x·Δx+(Δx)2+2Δx,所以=x+Δx+2,所以f′(x)==x+2.设切点坐标为(x0,y0),则f′(x0)=x0+2.由已知x0+2=4,所以x0=2.2.y=-在点处的切线方程是()A.y=x-2B.y=x-C.y=4x-4D.y=4x-2【解析】选C.先求y=-的导数,因为Δy=-+=,所以=,所以==,1即y′=,所以y=-在点处的切线斜率k=y′=4,所以切线方程为y+2=4,即y=4x-4.3.(2017·泰安高二检测)曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.60°【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-×(-1)3=Δx-Δx2+(Δx)3,=1-Δx+(Δx)2,==1,所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.4.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2【解析】选B.===f′(1)=-1.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为()2A.1B.C.-D.-1【解析】选A.因为y′==(2a+aΔx)=2a.所以2a=2,a=1.6.函数f(x)=x-x3-1的图象在点(1,-1)处的切线与直线4x+ay+3=0垂直,则a=()A.8B.-8C.2D.-2【解析】选B.由导函数的定义可得函数f(x)的导数为f′(x)=1-3x2,所以f′(1)=-2,所以在点(1,-1)处的切线的斜率为-2,所以直线4x+ay+3=0的斜率为,所以-=,所以a=-8.7.(2017·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A.0>f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)f′(xB)>0【解析】选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f′(xA)f′(xB)B.f′(xA)=f′(xB)C.f′(xA)kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)>f′(xB).8.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+2y-8=0平行,则l的方程为()A.8x+16y+3=0B.8x-16y+3=0C.16x+8y+3=0D.16x-8y+3=0【解析】选A.由y=x4得y′=4x3,设切点坐标为(x0,y0),则y′=4,因为切线l与直线x+2y-8=0平行,所以4=-,所以x0=-,所以y0==,所以l:y-=-,即8x+16y+3=0.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P横坐标的取值范围为________.【解析】因为f′(x)=4==(Δx+2x+2)=2x+2.所以可设P点横坐标为x0,则曲线C在P点处的切线斜率为2x0+2.由已知得0≤2x0+2≤1,所以-1≤x0≤-,所以点P横坐标的取值范围为.答案:10.(2017·兴义高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得f′(0)===[a·(Δx)+b]=b.又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,则所以ac≥,所以c>0.所以=≥≥=2.答案:25三、解答题11.(10分)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.【解析】(1)y′===(2x+Δx+1)=2x+1.y′|x=1=2×1+1=3,所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.所以所求三角形的面积S=××=.【能力挑战题】试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.6【解析】===3xΔx+3x2+(Δx)2.=3x2,因此y′=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3①,过(1,1)点的切线的斜率k=②,所以3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)7=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9.即f′(x0)=3+2ax0-9.所以f′(x0)=3-9-.当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.困为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12.解得a=±3.又a<0,所以a=-3.8
