浅析一元二次方程根与系数关系的应用中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1672-7894（2011）33-0117-02摘要：本文探讨了一元二次方程根与系数关系的不同应用：求含x1、x2的代数式的问题；求系数范围或值的问题；求一元二次方程式的问题；构造一元二次方程再应用根与系数的关系的问题关键词：一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系；应用OntheApplicationoftheRelationshipbetweentheRootandCoefficientofQuadraticEquationofOneVariable∥JiHailinAbstractThispaperinquiresintothevariousapplicationoftherelationshipbetweentherootandcoefficientofquadraticequationofonevariable.Keywordsquadraticequationofonevariable；therelationshipbetweentherootandcoefficientofquadraticequationofonevariable；application1引言一元二次方程是初中数学教学的重点内容，它不仅是一元一次方程的延伸，同时又是一元二次不等式、二次函数等后继学习内容的基础。一元二次方程根与系数的关系又是研究一元二次方程的有力工具，其应用在中考中屡见不鲜，下面我们就对其应用作初步探讨。2求含x1、x2的代数式的问题2.1定性分析的问题（河南省中考题）已知a,b,c是△ABC三条边的长，那么关于x的方程cx2＋(a+b)x＋=0的根的情况是（）（A）没有实数根(B)有两个不相等的正实数根(C)有两个不相等的负实数根(D)有两个异号实数根分析：△=（a+b）2－4c×()=(a+b+c)(a+b－c)>0又x1＋x2=<0x1x2=>0,故选（C）说明：题中的a、b、c是△ABC是三边的长，要充分利用三角形三边的关系，判断根的正负要利用根与系数的关系。2.2定量求值的问题（南通市中考题）设方程组的解是、，求和y1y2的值。分析：此类求值问题较常见，即不解方程求出含两根x1、x2的值。解题的关键一般要把所要求的代数式变形为含有x1＋x2和x1x2的形式，然后再利用一元二次方程根与系数的关系求解，同时请体会本题的整体和消元的思想。解：原方程组可化为：x2－3x＋1=0，由根与系数的关系得：x1+x2=3，x1x2=1，∴==3y1y2=(2x1－1)(2x2－1)=4x1x2－2(x1+x2)+1=－13求系数范围或值的问题（苏州市中考题）已知抛物线y=x2＋(1－2a)x＋a2(a≠0)与x轴交于两点A(x1,0)，B(x2,0)，(x1≠x2)①求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧②若抛物线与X轴交于点C，且OA＋OB=OC－2，求a的值解：①∵抛物线与x轴交于A（x1,0）B（x2,0）两点，且x1≠x2∴△=(1－2a)2－4a2>0,∴a<∴a的取值范围是a<且a≠0∴x1x2=a2>0，即x1,x2必同号，而x1+x2=－(1－2a)=2a－1<－<0∴x1,x2必同为负数∴点A(x1,0),B(x2,0)都在原点的左侧②∵OA＋OB=OC－2而OA=－x1,OB=－x2,OC=a2∴－x1－x2=a2－2∴1－2a=a2－2∴a=－3或1又∵a<∴a=－3说明：注意体会本题的数形结合的思想。4求一元二次方程式的问题求作一新方程，使新方程的两个根分别是方程2x2+3x+1=0的两根之和与两根的倒数和。分析：可逆用一元二次方程根与系数的关系得：以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）为x2－（x1＋x2）x+x1x2=0.解：由根与系数的关系得x1＋x2=,x1x2=,∴==－3.设所求方程的两根分别为y1,y.2.不妨设y1=,y2=－3∴y1＋y2=()＋(－3)=,y1y2=()×(－3)=,∴所求方程为y2＋y＋=0即2y2＋9y＋9=0说明：此题解题的关键是抓住所求方程两根的和与积，再逆用一元二次方程根与系数的关系，同时请体会本题的整体运算的思想。5构造一元二次方程再应用根与系数的关系的问题（淄博市中考题）若ab≠1且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则的值是（）（A）（B）（C）（D）分析：此类问题技巧性较强，解题时应仔细观察已知方程的特征，巧妙地构造一元二次方程，同时请体会本题的数学建模的思想。解：∵9b2+2002b+5=0,∴b≠0∴5()2+2002()+9=0又∵5a2+2002a+9=0且ab≠1∴a,是方程5x2+2002x+9=0的两实根∴=a()=故选（A）参考文献：[1]袁亚良.中考新导向（数学）.[M]南京大学出版社，2004.1[2]周游.有关一元二次方程整数根问题的解法.[J]数学大世界，2002，（12）
