数学命题•一、判断与命题•1．判断•判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。这里所说的断定，就是“肯定”或“否定”事物的某种性质或事物之间有某种关系。如：是无理数；它不是一位教师。•判断作为一种思维形式，具有两个基本的逻辑特征：•（1）必须有断定。•凡判断不是肯定某种事物的情况，就是否定某种情况。不作肯定或否定的不是判断。如三角形ABC是等腰三角形吗？雪是白色的吗？都不是判断。•（2）必须有真假。•如果一个判断符合客观现实情况，那么这个判断是真实的；否则就是假的。例如，“1是质数”就是一个假判断。•2．判断的种类•判断可按不同标准进行分类，首先按判断本身是否还包括其它判断，把一切判断分为简单判断和复合判断。•简单判断•本身不再含有其它判断的判断，在简单判断中，可按其判断内容分为性质判断和关系判断复合判断本身还包含其它判断的判断，在复合判断中，按照组成复合判断的各简单判断之间的结合情况如何，将其区分为负判断、联言判断、选言判断、假言判断等，我们这里不一一介绍。•3．命题及其基本运算•（1）命题的意义•表达判断的陈述语句叫命题。在数学中，每一个数学判断的陈述语句，都称为数学命题。数学命题往往用特有的数学语言组合起来进行陈述。如：•3＞2；⊿ABC是直角三角形。•命题的基本特征是：要么是真，要么是假，不能又真又假。如：x+2=5和x＞5不能判断真假，所以它们不是命题。当命题是真命题时，我们称这个命题的值为1，当命题为假时，我们称命题的值为0。这就给命题赋予了真值。命题可用字母A、B、C……或p、q、r……等表示。•（2）命题的基本运算•所谓命题的基本运算，就是将命题用逻辑联词联结起来，构建新的命题。命题的基本运算包括以下几种情况：•10否定（非）•给定命题p，在其前面加上“并非”两字，就构成新命题“并非p”，叫做命题p的否定，记作p，读作“非p”。显然p真时，p一定假，它们的真值完全相反，所以有下列真值表：值得注意的是：“命题的否定”与肯定判断pp换成否定判断是不同的，例如“一切s是p”换10成否定判断：“一切s不是p”，而否定则是“并01非一切s是p”（这里并不排除有些s是p）。20合取（与、并且）给定命题p、q，用逻辑联词“与”联结起来得到的新命题“p与q”称为命题p、q的合取式，记作“p∧q”，p∧q的真值是当且仅当p、q都真时，p∧q为真，其余为假，其真值表如下：在数学中合取式可以简写，如（＞1．4）∧（＜1．5可简记为：1．4＜＜1．5。又如（5是质数）∧（7是质数）pqp∧q简单叙述为：5和7都是质数。111100010000pqp∨q30析取（或）111给定命题p、q，用逻辑联词“或”101联结起来得到新命题“p或q”称为命011题p、q的析取式，记作，p∨q。000p∨q的真值是当p、q中至少有一个为真时，p∨q为真，否则是假的。真值表如下：“或”是“可兼”的意思，相当于日常用语中的“或”，如“两条直线平行或相交”就是把“两条直线平行”与“两条直线相交”用“或”联结而成的。40蕴涵（如果……，那么……）给定命题p、q，用逻辑联词“如果……，那么……”联结起来，得到新的命题“如果p，那么q”，就称为命题p、q的蕴涵式，记作“p→q”，其中p叫做蕴涵式的前件（条件），q叫后件（或结论）。蕴涵式的真值是只有当p真q假时，p→q才是假的，其余都是真，即p∧q≡p→q。真值表如下：pqp→q11110001100150等价（当且仅当）给定命题p、q，用逻辑联结词“当且仅当”联结起来得到的新命题“p当且仅当q”称为等价式，记作“pq”只有当p、q同真或同假时，pq才为真，其余情况为假。其真值表如下：pqpq1111000100010注意，等价式与逻辑等价不一样，等价式是由p、q构成的一个新命题，而逻辑等价是指两个命题具有真值完全相同的关系，即p≡q。二、命题运算应用举例运用以上的五种逻辑联词及真值表，可以进行命题的多种复合运算。在运算的过程中，还要应用逻辑运算律，这里不做介绍（可参阅有关的逻辑学文献）。这里介绍中学数学中关于命题运算的应用。1．命题的四种关系首先我们来研究蕴涵式命题的四种形式。给出一个数学命题若p则q，可以得到如下四种形式：原命题p→q逆命题q→p否命题→逆...
