2011届高三数学文大纲版创新设计一轮复习课件：6.2算术平均数与几何平均数.ppt【考纲下载】掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.第2讲算术平均数与几何平均数1．若a，b∈R，则a2＋b22ab.(当且仅当a＝b时取“＝”)2．均值不等式：若a，b∈R＋，则.(当且仅当a＝b时取“＝”)3．利用均值不等式求最大、最小值问题．(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有．(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有．提示：利用二元基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三等”的条件，有时为了利用均值不等式求出最值，需要构造和或积的定值．≥≥最小值最大值1．下列推理过程正确的是()A．若a，b∈R，则B．若x>0，则cosx＋C．若x<0，则x＋D．若a，b∈R且ab<0，则解析：在A中与未必均为正，论证错误．B中当x>0时，cosx、也未必为正，论证错误．C中当x<0时，，论证错误．D中、均为负，转化为－、－后均为正，再利用基本不等式，故选D.答案：D2．已知(x>0，y>0)，则xy的最小值为()A．15B．6C．60D．1解析：,答案：C3．设0
0，则x＋的最小值为________．解析： x>0，∴x＋≥2.答案：2对于数或式的大小比较，常采用两种方法：一是通常给字母赋予一些特殊值，进行排除或判断，一般适用于选择题或填空题；二是利用基本不等式及常用不等式结合函数的单调性比较．【例1】如果0Q>MB．Q>P>MC．Q>M>PD．M>Q>P思维点拨：采用特殊值法或利用基本不等式结合对数函数的单调性比较．解析：解法一：(特殊值法)可设则故Q>P>M，选B.解法二：因为所以只需比较的大小，显然又因为，即(因为a＋b>也就是<1)，所以，而对数函数当底数大于0小于1时为减函数，故Q>P>M，选B.答案：B利用算术平均数与几何平均数的定理求代数式的最值，关键是合理使用“拆、拼、凑”的技巧，得到满足“正、定、等”三个条件的式子．对于含分母的式子，常常采用分离变量的方法，而分离变量常使用平方差公式，这样可以简化运算过程，有时候为了简化分母还可以对分母进行代换．【例2】(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求的最小值；(2)求函数y＝(x>－1)的最小值．思维点拨：(1)由lgx＋lgy＝1知xy为定值，直接利用基本不等式求解；(2)分离变量后，把x＋1看成一个整体，利用基本不等式求解．解：(1) lgx＋lgy＝1，∴xy＝10.∴当且仅当，即x＝2，y＝5时，等号成立．故的最小值为2.(2)因为x>－1，所以当且仅当x＋1＝，即x＝1时函数取最小值9.变式2：(1)已知x>0，y>0，＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x<3，求f(x)＝的最大值．解：(1) x>0，y>0，＝1，当且仅当即x＝2＋，y＝＋5时取等号，∴x＋y的最小值为7＋2.(2) x<3，∴x－3<0.当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式，关键是所证不等式中必须具有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用定理时等号能否取到．【例3】已知a>0，b>0，a＋b＝1.求证：≥9.思维点拨：由于不等式左边含字母a，b，右边无字母，直接使用基本不等既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因a＋b＝1，因此考虑能否把左边展开，实行“1”的代换．证明：证法一：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以同理所以＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．证法二：，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以，于是，因此(当且仅当a＝b＝时等号成立)拓展3：若将本例题条件改为“a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1”．求证：证明： a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，∴且仅当a＝b＝c＝时取等号．【方法规律】2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．(1)a＋≥2(a>0，且a∈R)，当且仅当a＝1...
