与利润及其成本有关的最值问题1【例】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省
【解法1】根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则因为BD＝40，AC＝50－x，所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有：y＝30(5a－x)＋5ax2＋402(0＜x＜50)，y′＝－3a＋5axx2＋402，令y′＝0，解得x＝30，在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)所以供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．【解法2】设∠BCD＝θ，则BC＝40sinθ，CD＝40tanθ，(0＜θ＜π2)，所以AC＝50－40tanθ，设总的水管费用为f(θ)，依题意，有f(θ)＝3a(50－40tanθ)＋5a·40sinθ＝150a＋40a·5－3cosθsinθ，所以f′(θ)＝40a·5－3cosθ′·sinθ－5－3cosθ·sinθ′sin2θ＝40a·3－5cosθsin2θ，令f′(θ)＝0，得cosθ＝35，根据问题的实际意义，当cosθ＝35时，函数f(θ)取得最小值，此时sinθ＝45，所以tanθ＝43，所以AC＝50－40tanθ＝20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力．问题关键在于建立数学模型和目标函数．本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．
