1.2.2同角三角函数关系【课标要求】1．掌握同角三角函数的基本关系式的推导方法．2．会用同角三角函数的基本关系式化简三角函数式、求任意角的三角函数值，证明简单的三角恒等式．3．通过同角三角函数的基本关系式的推导进一步理解三角函数的定义．【核心扫描】1．理解同角三角函数的基本关系式．(重点)2．会运用平方关系和商的关系，进行化简，求值和证明．(重点)自学导引1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.试一试：利用任意角三角函数的定义推导平方关系与商数关系．提示 sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，x2＋y2＝r2，∴sin2α＋cos2α＝y2r2＋x2r2＝x2＋y2r2＝1(α∈R)．sinαcosα＝yrxr＝yx＝tanα(α≠kπ＋π2，k∈Z)．2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝；cos2α＝；(sinα＋cosα)2＝；(sinα－cosα)2＝；(2)tanα＝sinαcosα的变形公式：sinα＝；cosα＝.1－cos2α1－sin2α1＋2sinαcosα1－2sinαcosαcosαtanαsinαtanα想一想：同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？提示同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而sinαcosα＝tanα并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈Z.名师点睛1．同角三角函数的基本关系(1)“同角”有两层含义：一是“角相等”，二是对“任意”一个角，只要是使它们有意义的角而言，跟角的表达形式没有关系．如sin2α＋π3＋cos2α＋π3＝1，而tanα＝sinαcosα中，要求α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)还要注意sin2α是(sinα)2的简写，读作sinα的平方，而不能将其写成sinα2，前者是角α的正弦的平方，后者是角α的平方的正弦，两者迥然不同．2．变式及应用常用基本关系式的变式有：cosα＝±1－sin2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝cosαtanα，cosα＝sinαtanα等．应用这些可以解决(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个求其他两个；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.题型一已知一个角的三角函数值求其它三角函数值【例1】已知cosα＝－35，求sinα，tanα的值．[思路探索]属于同角三角函数关系式的直接应用．解因为cosα＜0，且cosα≠－1，所以α是第二或第三象限角．由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝1－cos2α＝1－925＝1625.若α是第二象限角，则sinα＝45，tanα＝sinαcosα＝45－35＝－43；若α是第三象限角，则sinα＝－45，tanα＝43.规律方法已知角α的某种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意α所在的象限．一般地，如果不指明α所在的象限，则应根据α的三角函数值对α所在的象限进行讨论．【变式1】已知tanα＝－125，且α是第四象限的角，求sinα，cosα.解由tanα＝－125得，sinαcosα＝－125，即sinα＝－125cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得，16925cos2α＝1.而α是第四象限的角，所以cosα＝513，从而sinα＝－125×513＝－1213.题型二化简、证明三角函数式【例2】(1)化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．(2)求证：1－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝1－tan2x1＋tan2x.[思路探索]应用同角三角函数关系式及变式进行切化弦，1的代换等化简变形．解(1)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanα1sin2α－1＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.(2)证明左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝cos2x－sin2x2cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x＝右边．∴原等式成立．规律方法(1)化简是一种不指明答案的恒等变形，三角函数化为最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式．(2)在计算化简或证明中常用到：①“1”的代换，即将1用sin2α＋cos2α代换；②切化弦，③整体代换等方法．【变式2】...
