利用基本不等式的转化求最值【例1】已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值及此时x、y的值．8228018282()()10+8210+2=18822821126.12618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为＋－＝，所以＋＝，所以＋＝＋＋当且仅当＝，即＝时，等号成立．又＋＝，所以＝，＝故当＝，＝时，＋的最【小值是解析】本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一．对于xy与x＋y在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“”将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的．2xyxy52(1)1xxyxx求函数＝－【变的式练习1】最大值．1041454024=44512123""1.xttttyttttttytxx令＋＝，则，则＝＝＋＋，因为，所以＋－，所以－＋＝，当且仅当＝－，即＋＝－，＝－时取＝，故函数的最大【解值为析】注意基本不等式的适用条件224sin2.sinyxx【求】的最小值例22222222222222222222413sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sin1yxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx＝＋＝＋＋，当，即时，可以取等号，即当＝时，＋的最小值是又当＝时，＝，即的最小值是所以【解析】函数＝＋的最方小值是法：2222min4sin01441.011040,1415.sin01.40,2152.3txtyttytyttytttytttxtyttty令＝，则，＝＋，所以＝－当时，＝－，即＝＋在上是减函数，所以当＝时，＝＋的最小值是令＝，则因为函数＝＋在上是减函数，所以，当＝时，方方法：＝法：22222“2”44sin2sin4sinsin4sin2xyxyyxxyxxx本题是利用基本不等式求函数的最值问题．用基本不等式时，要注意正、定、等三要素缺一不可！下面的解法太有诱惑力了：，因此的最小值是，为什么不对呢？因为等号只有在＝才能取到，而这是不可能的！这类问题用导数方法求解是非常有效的．221[2]21[212]2bcRfxxxxbxcgxxfx已知、，在区间，上，函数＝＋＋与函数＝在同一点取得相同的最小值，求在区间【变，上的式练习】最大值．22221111213113.4()()24xxgxxxxxxxxxgxfxgxbcbfxxbxcx因为＝＝＋＋＋＝，当且仅当＝，即＝时，“＝”成立，即的最小值为【因为与在同一点处取得相同最小值，而的图象是开口向上的解析】抛物线，2211[2]2124234.41(1)3.[2]224.fxbcbbcfxxxxfx且，，所以只能在顶点处取得最小值，所以，即＝－时，＝，所以＝所以＝－＋又，，所以当＝时，的最大值为利用基本不等式解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？*2()0.20.20.20.220.20.2100.9100.1210101213(101010)103.10xxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyN设使用年的年平均费用为万元，由已知条件可知年维修费构成一个以万元为首项，万元为公差的等差数列，因此使用年的总维修费用为万元，所以＝＝＝＋＋＋＝，当且仅当＝时取等号所以当＝时，取最小值答：这种汽车使用年时，【解析】年平均费用最小．解决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，再用数学知识和方法加以解决．【变式练习3】2008年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心．为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为P，试用x，y表示P；(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？245022002...
