掌握对数的定义和运算性质/掌握对数函数的图象和性质2.6对数与对数函数1．定义一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，a叫做对数的底数，N叫做真数．2．重要公式(1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．4．对数换底公式logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)5．对数函数的定义函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，它是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的反数．如果a>0，a≠1，M>0，N>0有：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；3．积、商、幂的对数运算法则6．对数函数的性质a>10
0解得x<2，或x>3，则函数的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)，又t＝x2－5x＋6在(－∞，2)上递减，因此函数的单调增区间为(－∞，2)．答案：D2．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于()A.B．2C．2D．4解析：根据已知条件loga(2a)－logaa＝，整理得：loga2＝，则＝2，即a＝4.答案：D3．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序是()A．0.761，则0.76<1<60.7.答案：D4．(2010·黄冈月考)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A.B．－C．－bD．b解析：函数f(x)的定义域为－1＜x＜1，又f(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)，则f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：C5.设f(x)＝log3(x＋6)的反函数为f－1(x)，若[f－1(m)＋6]·[f－1(n)＋6]＝27，则f(m＋n)＝________.解析：y＝f(x)的反函数为y＝3x－6，∴[f－1(m)＋6]·[f－1(n)＋6]＝27⇒3m·3n＝27，即3m＋n＝27，∴m＋n＝3，∴f(m＋n)＝log39＝2.答案：2对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．解答：(1)原式＝.(2)原式＝(lg2＋lg5)(lg22－lg2lg5＋lg25)＋3lg2lg5＝lg22＋2lg2lg5＋lg25＝(lg2＋lg5)2＝1.(3)解法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.解法二：原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg＝lg＝.变式1.(1)若2a＝5b＝10，求的值．(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．解答：(1)由已知a＝log210，b＝log510，则＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)由已知x＝log43，则4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝.对数函数与指数函数互为反函数，在解决与对数函数相关的问题可类比指数函数问题，不仅要注意二者之间的联系，同时更要明确二者之间的区别．【例2】设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1.证明：证法一：由题设f(a)>f(b)，即|lga|>|lgb|.上式等价于lg2a>lg2b，即：(lga＋lgb)(lga－lgb)>0，lg(ab)lg>0，由已知b>a>0，得0<<1.∴lg<0，故lg(ab)<0，∴ab<1.证法二：数形结合，函数y＝|lgx|的图象如上图，由0f(b)可得两种情况，①01，则lga<0，lgb>0.故f(a)>f(b)等价于－lga>lgb，即lga＋lgb<0，可得lg(ab)<0，故ab<1.变式2.若函数f(x)满足对于(0，＋∞)上的任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且x>1时f(x)>0，试证：(1)f()＝f(x)－f(y)；(2)f(x)＝－f()；(3)f(x)在(0，＋∞)上递增．证明：(1)由已知f()＋f(y)＝f(x)，即f(x)－f(y)＝f()．(2)令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)．因此f(1)＝0.∴f(x)＋f()＝f(1)＝0，即f(x)＝－f()．(3)设01，由已知f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.因此f(x1)
