1.4两条直线的交点1.了解两直线的交点的概念,会求两直线的交点坐标.2.理解两直线交点个数与位置关系的联系,会综合判断两直线的位置关系.3.应用直线相交解决有关问题.两条直线的交点(1)求法:用代数方法求两条直线的交点坐标,两直线方程联立方程组,此方程组的解就是这两条直线的交点坐标,因此解方程组即可.(2)应用:可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系.一般地,将直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的方程当方程组有唯一解时,l1和l2相交,方程组的解就是交点的坐标.当方程组无解时,l1与l2平行.当方程组有无数组解时,l1与l2重合.联立,得方程组൜𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0,𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0.【做一做1】直线x+y+1=0与直线x-y+1=0的交点坐标是.答案:(-1,0)【做一做2】判断直线l1:x-y-1=0和直线l2:2x+y+4=0的位置关系,如果相交,求出交点坐标.解:解方程组൜𝑥-𝑦-1=0,2𝑥+𝑦+4=0,得ቊ𝑥=-1,𝑦=-2,所以直线l1和l2相交,交点坐标是(-1,-2).题型一题型二题型三题型四题型一判断两条直线的位置关系【例1】判断直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-2y+3=0的位置关系.如果相交,求出交点坐标.反思可以利用两直线方程组成的方程组的解的个数来判断两条直线的位置关系.当方程组无解时,两条直线平行;当方程组仅有一组解时,两条直线相交;当方程组有无数组解时,两条直线重合.解:解方程组ቊ𝑥-2𝑦+1=0,2𝑥-2𝑦+3=0,得൝𝑥=-2,𝑦=-12,所以直线l1与l2相交,交点坐标是ቀ-2,-12ቁ.题型一题型二题型三题型四解:(1)解方程组൜2𝑥-𝑦=7,3𝑥+2𝑦-7=0,得൜𝑥=3,𝑦=-1,所以直线l1与l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组൜2𝑥-6𝑦+4=0,4𝑥-12𝑦+8=0,有无数组解,因此,l1与l2重合.【变式训练1】判断下列两直线是否相交,若相交,求出它们的交点坐标.(1)l1:2x-y=7,l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0,l2:4x-12y+8=0.题型一题型二题型三题型四题型二求直线方程【例2】求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.分析:方法一,解方程组得点P的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程;方法二,根据直线l与l3垂直,设出直线方程,再由点P的坐标解得;方法三,由过两条直线交点的直线系设出直线方程,再根据直线l与l3垂直来求解.题型一题型二题型三题型四解:方法一:解方程组ቊ𝑥-2𝑦+4=0,𝑥+𝑦-2=0,得P(0,2).因为l⊥l3且l3的斜率为34,所以直线l的斜率为-43.所以l的方程为y=-43x+2,即4x+3y-6=0.题型一题型二题型三题型四方法二:设直线l的方程为4x+3y+m=0.因为它过两条直线l1与l2的交点P,解方程组ቊ𝑥-2𝑦+4=0,𝑥+𝑦-2=0,得P(0,2),所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6.所以直线l的方程为4x+3y-6=0.题型一题型二题型三题型四方法三:很显然直线l不为直线l2,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0,由题意,知3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0.反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线l的斜率和一定点坐标;方法二是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三是从直线l过直线l1和l2的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线系设出方程.题型一题型二题型三题型四解:解方程组൜𝑥-2𝑦=1,2𝑥+𝑘𝑦=3,得ቐ𝑥=𝑘+6𝑘+4,𝑦=1𝑘+4,即前两条直线的交点坐标为ቀ𝑘+6𝑘+4,1𝑘+4ቁ.因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点,所以有3k·𝑘+6𝑘+4+4𝑘+4=5.解得k=1或k=-163.【变式训练2】设三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点,求k的值.题型一题型二题型三题型四题型三对称问题【例3】求直线x-2y-1=0关于直线x+y-1=0的对称直线方程.分析:本题主要考查轴对称问题,关键是把直线的对称转化为点的对称.题型一题型二题型三题型四解:方法一:由ቊ𝑥-2𝑦-1=0,𝑥+𝑦-1=0,得两直线的交点为A(1,0).在x-2y-1=0上取点Bቀ0,-12ቁ,设点B关于x+y-1=0的对称点为C(x0,y0),则有ەۖ۔ۖۓ0+𝑥02+-12+𝑦02-1=0,𝑦0-൬-12൰𝑥0-0·(-1)=-1,解得x0=32,y0=1,即点C的坐标为ቀ32,1ቁ.题型一题型二题型三题型四由于所求直线经过A,C两点,则有𝑦-01-0=𝑥-132-1,即2x-y-2=0.∴所求直线方程为2x-y-...
