1.3.2球的体积和表面积球的体积和表面积公式(1)体积公式:V=πR3.(2)表面积公式:S=4πR2.43【思考】从公式看,球的表面积和体积分别是关于哪个量的函数?提示:从公式看,球的表面积(或体积)只与球的半径有关,给定球的半径R有唯一确定的S(或体积V)与之对应,故表面积和体积是关于球的半径R的函数.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)球的表面可以展开成平面.()(2)两个球的半径之比为1∶2,则其表面积之比为1∶4.()(3)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.()提示:(1)×.球的表面不能展开成平面图形,故错误.(2)√.根据球的表面积公式可知此说法正确.(3)×.两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶8.2.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.144π,144πB.144π,36πC.36π,144πD.36π,36π【解析】选D.R=3,S=4πR2=36π,V=πR3=36π.433.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为()A.2B.C.D.【解析】选C.设大球半径为r,则πr3=2×,所以r=.2323142434332类型一球的表面积和体积【典例】1.(2019·株洲高一检测)两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为()A.2∶3B.4∶9C.∶D.∶238272.(1)若球的表面积为64π,则它的体积为__________.(2)若球的体积为π,则它的表面积为__________.50033.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球的表面积之比.【思维·引】1.以球的表面积和体积公式为依据,先由体积之比推出半径之比,然后推出表面积之比2.(1)借助球的表面积公式先列方程求半径,进而计算球的体积.(2)借助球的体积公式先列方程求半径,进而计算球的表面积.3.根据题目条件列出方程,用圆锥的高表示底面半径和母线,然后代入公式求比值.【解析】1.选B.设这两个球的半径分别为r,R,则,所以,则这两个球的表面积之比为=()2=.2.(1)设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4,所以球的体积V=πR3=π·43=π.334r83427R3r2R3＝224r4RrR4943432563(2)设球的半径为R,则πR3=π,解得R=5,所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.答案:(1)π(2)100π43500325633.设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,球的半径为R,则由题意得π(2R)2·h=πR3,所以R=h,r=2h,所以l=h,所以S圆锥侧=πrl=π×2h×h=2πh2,S球=4πR2=4πh2,所以.2314rhR,33r2R,＝＝134322rh5＋＝5522S25h5S4h2圆锥侧球＝＝【内化·悟】利用球的表面积和体积主要可以解答哪两类问题?提示:(1)已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积;(2)已知体积或表面积也可以求其半径.【类题·通】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键:把握住球的表面积公式S球=4πR2,球的体积公式V球=πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.43(2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.【习练·破】1.把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为()A.B.C.D.【解析】选C.因为πr2h=πR3,所以R=.rh22rh423rh42rh2134323rh42.(1)火星的直径约为地球直径的一半,地球的体积约是火星体积的多少倍?(2)木星的表面积约为地球表面积的120倍,木星的体积约是地球体积的多少倍?【解析】(1)设火星的半径为R,则地球的半径为2R,因此=8.3342RV34VR3地火＝故地球的体积约是火星体积的8倍.(2)设木星和地球的半径分别为r,R.依题意,有4πr2=120×4πR2,解得r=2R,所以.故木星的体积约是地球体积的240倍.30333344r230RV332403044VRR33木地＝＝30【加练·固】圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.【解析】设球的半径为r,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r=8πr2+3·πr3,即2r=8,所以r=4cm.答案:443类型二与球有关的组合体问题【典例】1.(2019·资阳高一检测)已知一个几何体的三视图如图所示,图中四边形是边长为1的正方形,虚线所示为半圆,那么该几何体的体积为()A...
