第二节函数及其表示重点难点重点：①映射与函数的概念．②函数的定义域、值域及求法．③分段函数．难点：复合函数及分段函数．知识归纳1．映射(1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的一个元素，在集合B中都有的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.任何惟一确定(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．2．函数(1)定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．从映射的角度看，函数是由一个到另一个的映射．非空数集非空数集(2)函数的表示法有：、、理解函数概念还必须注意以下几点：①函数是一种特殊的映射，集合A、B都是非空的数的集合．解析法列表法图象法．②确定函数的映射是从定义域A到B(值域C⊆B)上的映射，允许A中的不同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在A中不能没有原象．③若两个函数的定义域、对应法则分别相同，称这两个函数相等．④函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个对应法则，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同．⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线．⑥对于以x为自变量的函数，f(a)的含义与f(x)的含义不同．f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量．3．函数的定义域(1)根据函数解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为；②偶次方根的被开方数不得小于；③对数函数的真数必须大于；④指数函数和对数函数的底数必须；⑤三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为xx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z.000大于0且不等于1(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，求f(x)的定义域，是指在x∈的条件下，求g(x)的值域．a≤g(x)≤b[a，b](3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．(4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．4．函数的值域(1)确定函数值域的原则①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合．②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定．④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定．(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为4ac－b24a，＋∞；当a<0时，值域为－∞，4ac－b24a.③y＝kx(k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．④y＝ax(a>0，且a≠1，x∈R)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝logax(a>0，且a≠1，x>0)的值域是R.⑥y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为[－1,1]，[－1，1]，R.(3)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：①直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．③反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．④判别式法——把函数转化成关于x的二次方程...
