【考纲下载】1.了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．2．了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式.第9讲多面体、球1．多面体(1)凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的，这样的多面体叫做凸多面体．(2)正多面体：每个面都是有相同边数的，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．同侧正多边形【思考】正多面体共有哪几种？答案：正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体和正二十面体．(3)简单多面体：表面能经过变形变为球面的多面体，叫做简单多面体．2．球(1)球的定义：半圆以它的为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体，简称球．直径连续(2)球的截面的性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝.(3)大圆与小圆：球面被经过的平面截得的圆叫做大圆，被的平面截得的圆叫做小圆．(4)球面距离：在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．(5)球的体积公式：半径是R的球的体积V＝πR3.球的表面积公式：半径是R的球的表面积S＝.球心不经过球心大圆在这两点间的一段劣弧4πR2提示：注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧长三者之间的区别与联系．特别是注意球面距离，其关键是求出球面上两点与球心的张角的大小，常常是应用直观图结合三角知识求解．1．给出下列三个命题：①正四棱柱一定是直平行六面体；②四面体ABCD中，若点A在面BCD上的射影是△BCD的垂心，则点B在面ACD上的射影也是△ACD的垂心；③经过球面上不同两点的球的小圆可能不存在．其中假命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：A2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.B.C．D.解析：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故B项为正确答案．答案：B3．正方体的内切球与外接球的半径之比为()A.∶2B.∶2C.∶3D.∶3解析：设内切球和外接球的半径分别为r和R；正方体的棱长为a，则∴r∶R＝∶3.答案：C4．(2009·上海卷)若球O1、O2表面积之比＝4，则它们的半径之比＝________.解析：S球＝4πR2，故答案：2求一些不规则几何体的体积时常用割补的方法，转化成易求体积的几何体进行求解．虽说在某些情况下，割补法优于整体法，但是一般情况下，还是应该先对问题进行整体思考．【例1】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.B.C.D.思维点拨：将多面体割为一个直三棱柱和两个三棱锥．解析：将原几何体截成一个直三棱柱ADN-BCM，及两个三棱锥E-ADN，F-BCM，如图，则由EF∥AB知三棱锥E-ADN与F-BCM体积相等，取AD中点P，则∴答案：A(1)解球的截面问题，关键是利用球的截面圆半径、球心到截面的距离、球半径三者之间的关系式建立等式．(2)球的表面积和体积都是关于球半径的函数，因此要注意运用函数与方程的思想方法去处理．【例2】(2009·全国Ⅱ卷)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于，则球O的表面积等于________．思维点拨：先求圆C的半径r，再在Rt△OCB中，求球O的半径R.解析：设圆C的半径为r，有πr2=，得r2=，又设球的半径为R，如图所示，有|OB|=R，，|CB|=r.在RtOCB△中，有|OB|2=|OC|2+|CB|2，即∴R2=2.S∴球=4πR2=8π.答案：8π变式2：已知球的表面积为20π，球面上有A，B，C三点，如果AB＝AC＝2，BC＝2，则球心到平面ABC的距离为()A．1B.C.D．2解析：球的表面积为20π，即S＝4πR2＝20π，∴R＝.在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，∴由余弦定理得cosA＝.∴A＝120°.设△ABC外接圆的半径为r，则由正弦定理得，∴r＝2.∴所求距离d＝＝1.答案：A计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念，具体步骤是：(1)计算线段AB的长度；(2)计算A、B到球心O的张角；(3)计算大圆在A、B两点间所夹的劣弧长．【例3】(200...
