2.2.2对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质学习目标要求栏目导航问题情境导学课堂互动探究课堂归纳总结1.初步理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象和性质.3.了解反函数的概念,知道指数函数与对数函数互为反函数.4.通过类比思想,利用指数函数探索对数函数的图象及性质,学会研究函数的方法.【实例】庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”若已知剩余长度的大小,你能知道经过了多长时间吗?剩余长度与时间之间是函数关系吗?解:设剩余长度为x,经过的时间为y,则(12)y=x,由对数的定义可得y=log12x,这里的y是x的函数.一、对数函数的概念1:函数y=log12x称为什么函数?xy=lo𝑔12x142121102-14-21:对数函数的概念函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).1:(1)对数函数的定义域为什么是(0,+∞)?(因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+∞))(2)对数函数解析式有何特征?(在对数函数的定义表达式y=logax(a>0且a≠1)中,logax前面的系数必须是1,自变量x在真数的位置上,否则不是对数函数)二、对数函数的图象与性质2:如何作对数函数y=log12x的图象?函数y=log2x的图象如何作呢?(通过列表描点法作出函数y=log12x的图象,由换底公式知y=log2x=log12𝑥log122=-log12x,因此函数y=log2x的图象与函数y=log12x的图象关于x轴对称,从而得到函数y=log2x的图象)2:对数函数的图象与性质a>10
101时,y>0当00,当x>1时,y<0单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数对称性函数y=logax和函数y=log1𝑎x的图象关于x轴对称2:(1)如何准确而快速地画出对数函数的图象?(画对数函数y=logax的图象时,应牢牢抓住三个关键点(a,1),(1,0),(𝟏𝒂,-1)!)(2)对数函数图象的分布与底数有什么关系?(底数对图象的影响观察大致图象,注意变化规律:①上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,00,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.3:互为反函数的两个函数的图象之间是什么关系?(图象关于直线y=x对称)对数函数的概念【例1】下列函数中,哪些是对数函数?①y=logax2(a>0,且a≠1);②y=log2x-1;③y=2log8x;④y=logxa(x>0,且x≠1);⑤y=log5x.解:⑤为对数函数.①中真数不是自变量x,不是对数函数;②中对数式后减1,∴不是对数函数;③中log8x前的系数是2,而不是1,∴不是对数函数;④中底数是自变量x,而非常数a,∴不是对数函数.如何判断一个函数是否是对数函数?(判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:①系数为1.②底数为大于0且不等于1的常数.③对数的真数仅有自变量x)变式训练11:函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=.解析:a2-a+1=1,解得a=0,1.又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1.答案:1对数函数的图象特征【例2】如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取ξ3、43、35、110,则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为()(A)ξ3、43、35、110(B)ξ3、43、110、35(C)43、ξ3、35、110(D)43、ξ3、110、35名师导引:(1)对数函数图象分为几类?(两类,即底数大于1与底数大于0且小于1)(2)每一类如何区分?(比较与坐标轴的远近程度,或利用直线y=1与图象的交点)解析:法一:先排c1、c2底的顺序,底都大于1,当x>1时图低的底大,c1、c2对应的a分别为ξ𝟑、𝟒𝟑.然后考虑c3、c4底的顺序,底都小于1,当0
