1.4全称量词与存在量词学习目标重点难点1.能够记住全称量词和存在量词的概念.2.学会用符号语言表示全称命题和特称命题.3.学会判断全称命题和特称命题的真假.4.能在命题的不同表述形式的转化中理解和掌握判断命题真假的方法.重点:全称量词与存在量词的含义.难点:全称命题与特称命题的真假判定.1.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.预习交流1(1)下列命题中是特称命题的是().A.∀x∈R,x2≥0B.∃x∈R,x2<0C.平行四边形的对边不平行D.矩形的任一组对边都不相等提示:B(2)下列命题中是全称命题且为真命题的是().A.对每一个无理数x,x2也是无理数B.所有的实数x,都满足x2+1≥1C.每个二次函数都是偶函数D.有这样的整数,它的倒数等于它自身提示:B2.含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是p:∃x0∈M,p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定是p:∀x∈M,p(x).预习交流2(1)已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则().A.p:∃x0∈R,sinx0≥1B.p:∀x∈R,sinx≥1C.p:∃x0∈R,sinx0>1D.p:∀x∈R,sinx>1提示:C(2)已知命题p:∃x0∈R,30x+1=0,则它的否定为.提示:∀x∈R,x3+1≠0一、全称命题与特称命题的辨析判断下列命题是全称命题还是特称命题:(1)至少有一个实数a,a不能取对数;(2)实数的绝对值都是正数;(3)所有的二次函数都有最大值(或最小值);(4)有些三角形不是直角三角形.思路分析:对每一个命题中含有的量词进行分析,看它是全称量词还是存在量词,从而决定它是哪种命题.解:(1)含有存在量词“至少有一个”,故这是特称命题;(2)含有全称量词“都”,故这是全称命题;(3)含有全称量词“所有的”,故这是全称命题;(4)含有存在量词“有些”,故这是特称命题.1.下列命题中是全称命题的是().A.存在实数x,使得21x1x=2B.有一个实数α,sin2α+cos2α≠1C.∀x∈R,y∈R,x2+|y|>0D.f(x)=x-2-lgx在10,2上有零点答案:C2.下列命题中为特称命题的是().A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D判断一个命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词.另外,有些全称命题并不含有全称量词,要根据命题的意义去判断.二、全称命题与特称命题的真假判断判断下列命题的真假:(1)任意两向量a,b,若a·b>0,则a,b的夹角为锐角;(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)存在一个函数,既是奇函数又是偶函数.思路分析:要说明一个全称命题是假命题,只要找到一个反例即可,而要说明一个特称命题是真命题,只要找到一个元素使命题成立即可.解:(1) a·b=|a||b|·cos
>0,∴cos>0.又0≤≤π,∴0≤<π2,即a,b的夹角为零或锐角.故它是假命题.(2) x2+y2=0时,x=y=0,∴不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故它是假命题.(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.(4)函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数,故它是真命题.1.下列命题中,真命题是().A.∀x∈R,x2+2x+1>0B.∀x∈R,x2+x+1>0C.∃x∈Z,x2=2D.∃x∈R,x2+2<2答案:B解析:A中,当x=-1时结果为0,故为假命题;C中,使x2=2成立的x是±2∉Z;D中,x2≥0,故有x2+2≥2,故为假命题.2.给出下列四个命题:①梯形的对角线相等;②对任意实数x,均有x+2>x;③不存在实数x,使x2+x+1<0;④有些三角形不是等腰三角形.其中真命题的序号为.答案:②③④1.判断含有量词的命题的真假时,可先分析命题是全称命题还是特称命题.2.全称命题为真命题的判定方法是推理证明,是假命题则只需举出反例即可;特称命题为真命题的判定方法是举例验证,为假命题则需要推理证明.三、含有一个量词的命...
