高中数学平面向量数量积 课件人教版必修4B 课件VIP免费

平面向量数量积的物理背景及定义向量数量积的物理背景与定义问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角ab其中|F|cosθ就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量。力做的功：W=|F||s|cos，以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的运算.（1）两个向量的夹角；（2）向量在轴上的射影.两个向量的夹角已知两个非零向量a、b，=a，=b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作.并规定0≤≤πOA�OB�ab（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（2）范围0≤〈a，b〉≤π；（3）〈a，b〉=〈b，a〉；（4）〈a，b〉=0时,a、b同向；〈a，b〉=π时，a、b反向；〈a，b〉=90°时，a⊥b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.OA�11OA�alO1A1axlAO（2）正射影的数量：向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有coslaa1.a在轴l上的射影或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当为锐角时，数量为正值；3.当为钝角时，数量为负值；4.当为直角时，数量为0；5.当=0时，数量为|a|；6.当=180时，数量为|a|.向量的数量积（内积）定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：a·b.即a·b=cos,ababcos,abab1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积.2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。3．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1.ea=ae=|a|cos;2.abab=03.aa=|a|2或aaa||4.cos=；|ab|≤|a|.|b|.||||baba例1.已知|a|=5，|b|=4，=120°，求a·b.解：ab=|a|·|b|cos=5×4×cos120°=－10.练习1.已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b①a∥b时，a·b=±18；②a⊥b时，a·b=0；③a与b的夹角是60°时，a·b=9.练习2、判断正误，并简要说明理由:①a·0＝0；②0·a＝０；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠０；⑥a·b＝０，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)·c＝a·(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2=b2.ABBA例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.baDCBA,ABa�,ADb�,ACabDBab�||||,ab22()()||||0ACDBababab�.ACDB�例3.已知|a|=2，|b|=3，且分别满足下列条件，求a·b.(1)=120°;(2)a⊥b;(3)a//b解:(1)=120°，所以a·b=2×3×(－0.5)=－3.(2)a⊥b,所以a·b=0.(3)a//b,所以a·b=6或－6.例4.如图，△ABC为等腰直角三角形，且直角边AB=1，求ABBCBCCACABA�解：,0ABBCABBC�||1,||2,,135BCCABCCA�又12cos1351BCCA�45CBA21cos451CABA�0ABBCBCCACABA�例5.已知|a|=3,|b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。解：因为4cos||||5abab所以a在b方向上的正射影的数量是12||cos||5ababb在a方向上的正射影的数量是||cos4||abba