高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质2 ppt 课件VIP免费

仲元黄锡泉抛物线的简单几何性质(2)抛物线的简单几何性质(2)2025年2月24日仲元黄锡泉方程性质图形范围Ryx,0对称性轴对称关于x顶点坐标)0,0(坐标原点离心率1e)0(,22ppxy设抛物线方程为：lFMdxOyK焦半径000||,(,)2pMFxMxypAB2||通径一、抛物线的几何性质：方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0yR∈x≤0yR∈xR∈y≥0y≤0xR∈lFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）lFAxyBB1pp1211222(0)(,)(,)ypxpFAxyBxy00如图所示，弦AB过抛物线的焦点，设、，弦AB的中点为P(x,y).11BP11111111111从点A、B、P分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A、、，依据抛物线的定义，|AF|=|AA|,|BF|=|BB|所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|,又PP是梯形AABB的中位线，所以|AA|+|BB|=2|PP|.因此，我们容易得到A1二、抛物线的焦点弦：120(1)||2(2)ABxxpxpAB以为直径的圆必与准线相切另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组，我们还可以推得以下结论：22(1)||.sinPAB若直线的倾斜角为，则2212(2),.4ABpyyp12、两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即xx(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.12(3)||,||,.AFmBFnmnp1设则lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为的最小值22||sinPAB抛物线的焦点弦的如下性质:(2,3)5Fy1、求焦点为，准线方程为的抛物线方程..FxOyP是抛物线上任意一点解：设),(yxP则由抛物线的定义知：的距离的距离等于到直线到5yFP|5|)3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得：24(1)(0,1)PyxPPy2、设是曲线上一动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是？.FxOyP的抛物线焦点到准线的距离为表示顶点在解：曲线2)0,1()1(42xy0,(2,0)xF所以抛物线的准线:焦点:||PFdAd||||||AFPFPA又|||)||(|,,minAFPFPAFPA共线时，当5||)|(|minAFdPA2(0)11,,?yaxaFPQPFQFpqpq3、过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段的长度分别是，则.FxOyPQ21xya抛物线:1(0,)4Fa焦点:14ya准线：222(3)1yxxy4、抛物线和圆上最近两点间的距离为？.FxOyPCQAQP与圆上任意一点抛物线上任意一点分析：如图，||||PAPQ圆心最小值时，连线必经过||PQ)0,3(),,(CyxP设22)3(||yxPC)0(952xxx211||25minPCx时，当1211||minPQ22,,(1)(2)yxOAOBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与轴的交点为定值..FxOyBAM:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立22,2kxkyAAxyxky212联立22,2kxkyBB22ABABxxxyyykkkk11222)1(2kk22xy轨迹方程：22,,(1)(2)yxOAOBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与轴的交点为定值.bkxylyxByxAAB:).,(),.(22211）设（xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即kkxylAB2:)0,2(轴交点与x.FxOyBAM6、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.2y证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OBOAKOBKxyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)变式1:若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.2yxyOy2=2pxABlP(2p,0)2:22lxmypypx设代如得22240ypmyp....................1122,,AxyBxy设、变式2：若直线l与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB，则__________.2y直线l过定点(2p,0)xyOy2=2pxABlP2:2lxmyaypx设代如得2220ypmypa1122,,AxyBxy设、22121212222yyyypaxxpp又、212xxa....................