3.3.2《简单的线性规划》教学目标•（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；•（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．•（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；•（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．•（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．•教学重点、难点•二元线性规划问题的解法的掌握．在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现有的资源（人力、物力、资金……），取得最大的收益。或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务。我们把这一类问题称为“最优化”问题。不等式的知识是解决“最优化”问题的得力工具。我们将借助二元一次不等式（组）的几何表示，学习“最优化”问题中的简单“线性规划”问题。问题：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产品1工时需要A原料3kg，B原料1kg；生产乙产品1工时需要A原料2kg，B原料2kg。现有A原料1200kg，B原料800kg。如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问同时生产两种产品，各多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？解：依题意，可列表如下：产品原料A数量(kg)原料B数量(kg)利润(元)生产甲种产品1工时3130生产乙种产品1工时2240限额数量1200800设计划生产甲种产品x工时，计划生产乙种产品y工时，则获得的利润总额为f=30x+40y。①其中x,y满足下列条件：321200280000xyxyxy≤≤≥≥②于是问题转化为，在x，y满足条件②的情况下，求式子30x+40y的最大值。画出不等式组②表示的平面区域OABC。CBA800400400Oyx画出不等式组②表示的平面区域OABC。问题又转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x+40y时，使该式取得最大值。令30x+40y=0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l0，易知：在区域OABC内有30x+40y≥0。考察这个区域内任意一点P(x,y)到l0距离2222|3040|304030403040xyxyd于是2230403040xyd这就是说，点P(x，y)到直线l0的距离d越大，式子30x+40y的值也越大。因此问题转化为：在不等式组②表示的平面区域内找一点，使它到直线l0的距离最大。为在区域OABC内精确地找到这一点，我们平移直线l0的位置到l，使l通过OABC内的某点，ll0£º30x+40y=0CBAx+2y=8003x+2y=12006007009008007006001002003004005001000500400300200100Oy且OABC内的其它各点都在l的包含直线l0的同一侧，很容易证明该点到l0的距离最大，用此法区域OABC内的点B为所求。解方程组3212002800xyxy得点B的坐标为(200，300)。将x=200，y=300代入式子①:30x+40y，得Fmax=30×200+40×300=18000.答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18000元，此时利润总额最大。在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函数f=30x+40y叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足的不等式组②称为约束条件。如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题。使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解。一般地，满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。例1．下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素A、B的含量及单价：甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400单价(元/千克)765营养师想购买这三种食品共10千克，使它们所含的维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？解：设购买甲种食物x千克，乙种食物y千克，则购买丙种食物(10－x－y)千克，又设总支出为z元，由题意得z=7x+6y+5(10－x－y)，化简得z=2x+y+50，x，y应满足的约束条件400600400(10)4400800200400(10)48000,0100xyxyxyxyxyxy≥≥≥≥≥化简得224100yxyxyx≥≥≤≥根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。68108641...
