直线与直线的位置关系（2）一、新课引入：在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系ABCDA1B1C1D1（1）AB和C1D1；（2）A1C1和AC；（3）A1C和D1B：（4）AB和CC1；（5）BD1和A1C1；1.空间两直线的位置关系：（1）从公共点的数目来看可分为：①有且只有一个公共点则两直线相交两平行直线②没有公共点则两直线为异面直线（2）从平面的性质来讲，可分为：两直线相交①在同一平面内两直线平行②不在同一平面内则两直线为异面直线。定义：不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线二、异面直线：2.判定异面直线的方法：（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。3.异面直线的画法：αabαabab（2）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。（定理）是异面直线与直线，，若用符号表示为llBBlAlAB,三、异面直线所成角的定义：1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，作直线a1a∥，b1b∥。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角。aαa1b1ObaαOθ为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。o9002.异面直线a和b所成的角的范围：abOa1b1Oab1b3.找角方法：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）垂直异面垂直（无垂足）OααO因此，异面直线所成角的范围是（0，]4、特例：2例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1四、例题分析：求求异面直线所成的角的一般步骤的一般步骤是是：：根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。(1)(1)找出或作出有关的图形；找出或作出有关的图形；(2)(2)证明它符合定义；证明它符合定义；(3)(3)计算。计算。[[即：要求先证，要证先即：要求先证，要证先作。作。]]具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成构作含异面直线所成((或其补角或其补角))的角的三角形，再求的角的三角形，再求之。之。例例2：：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB2cm，AD1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。O1MBDB1A1D1C1ACF1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二（补形法）：说明：1.异面直线所成角的范围是（0，]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。2.当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义判定所成的角为90º，也是不可忽视的办法。2例3.如图，正方体中，1.A1B1与C1C所成的角2.AD与B1B所成的角3.A1D与BC1所成的角4.D1C与A1A所成的角5.A1D与AC所成的角ABCDA1B1C1D1巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线。abαβαβbaαβba五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：（1）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为θ；（2）选取适当的三角形（θ为其一个内角），通过解三角形求得θ的值；（3）异面直线所成的角的范围是0＜θ≤900，尽量用余弦定理；（4）若余弦值为负，则θ为其补角；（5）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。归纳为：①作辅助线找角；②指出角（或其补角）；③求角（解三角形）；④结论。
