第十三章导数(文)2012高考调研考纲要求了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；掌握函数y＝c(c为常数)、y＝xn(n∈N*)的导数公式，会求多项式函数的导数．理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．考情分析一般为一小一大，小题主要考查导数的概念、导数的几何意义及求函数的导数，大题是运用导数研究函数的单调性、极值或最值问题．高考考查的重点是用导数求函数的单调区间或已知函数的单调区间求参数，用导数求函数的极值、最值，以及求单峰函数的应用题．导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题逐步加深，不断创新，有关导数的高考题主要考查导数的概念、几何意义、函数的单调性、极值及应用问题中的最值，难度以中档题为主．第五十八讲导数的概念及其运算回归课本1.导数的几何意义f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是f(x)在(x0，f(x0))点处的切线的斜率，即在(x0，f(x0))处f(x)的切线斜率为f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．提示：注意f′(x)与f′(x0)的区别．f′(x)是x的函数，f′(x0)是一个数，f′(x0)等于函数f(x)在开区间(a，b)内的导数f′(x)在点x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.2．求函数的导数(1)导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法是：①求函数的增量Δy；②求平均变化率ΔyΔx；③取极限，得导数f′(x0)．(2)几种常见函数的导数及求导法则①(xn)′＝nxn－1(x∈N*)．②C′＝0.③[Cf(x)]′＝Cf′(x)．④[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．答案：D考点陪练1.(湖北高考)在函数y＝x3－8x的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：y′＝3x2－8， 倾斜角小于π4，∴斜率k∈[0,1)，即0≤y′＜1，得0≤3x2－8<1,8≤3x2<9，∴263≤|x|<3， x∈Z，∴x不存在．点评：本题易忽视直线的倾斜角的范围[0，π)，而发生k＝tanα<1的错误，而正确理解并掌握直线倾斜角的概念及范围是解决该题的关键．解析：根据导数的物理意义，s′＝t2－3t＋2，令s′＝0，得t＝1或t＝2.故选D.答案：D2．(2011·福建厦门第一学期期末)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是()A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末3．(2011·宁夏银川一中)曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()A.722B.922C.1122D.91010答案：A解析：切线l的方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.点P(3,2)到直线l的距离为d＝72＝722.故选A.4．曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.19B.29C.13D.23答案：A解析：已知曲线的导数为y′＝x2＋1，导数在x＝1处的值即为已知曲线在该点处的切线的斜率，即k＝y′|x＝1＝12＋1＝2，故已知曲线在点1，43处的切线方程为y－43＝2·(x－1)，设该直线在x轴，y轴的截距为a，b，则a＝13，b＝－23，所求三角形的面积为12|ab|＝19.5．设a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围是0，π4，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为()A.0，1aB.0，12aC.0，b2aD.0，b－12a答案：B解析：f(x)的导数为f′(x)＝2ax＋b，由已知y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0，π4，因此，0≤2ax0＋b≤1，而P到直线y＝f(x)的对称轴距离为x0＋b2a＝2ax0＋b2a＝|2ax0＋b|2a≤12a.类型一求多项式函数的导数解题准备：求多项式函数的导数，一般是将其展开化简成降幂(或升幂)排列形成后，再求导．【典例1】求下列函数的导数．(1)y＝15x5－43x3＋3x2＋2；(2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(3)y＝x2(x－1)(x＋2)；(4)y＝(x＋1)3.(3) y＝x2(x－1)(x＋2)＝x2(x2＋x－2)＝x4＋x3－2x2，∴y′＝4x3＋3x2－4x.(4) y＝(x＋1)3＝x3＋3x2＋3x＋1，...
