第九章直线、平面、简单几何体第讲考点搜索●空间向量的加法、减法与数乘●空间向量基本定理，以及共线、共面向量定理●空间向量的数量积及其运算性质高考高考猜想1.空间向量的基本运算.2.运用向量方法解决共点、共线、共面以及平行、垂直、夹角、距离等问题.1.空间向量：在空间，我们把具有_____和_____的量叫做向量，空间向量也用__________表示，并且____________________的有向线段表示同一向量或相等的向量.2.空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法与数乘向量为：=_______，=________,=____(λR).∈OB�AB�OP�大小方向有向线段方向相同且长度相等a+bλaOAOB3.空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：(1)加法交换律：_______________；(2)加法结合律：_______________；(3)数乘分配律：_______________.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)λ(a+b)=λa+λb4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作ab∥.5.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，ab∥的充要条件是存在实数λ使_______.相互平行或重合a=λb推论:如果直线l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式,其中向量a叫做直线l的方向向量.6.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y使p=________.推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使=___________.MP�xa+ybOPOAta�xMAyMB�7.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使p=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使=______________.8.已知空间两个向量a，b，则a，b的数量积为：a·b=______________,其中〈a,b〉表示向量a,b的_____，其范围为________.OP�xa+yb+zcxOAyOBzOC�|a||b|cos〈a,b〉夹角［0,π］9.空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量)(1)a·e=_____________;(2)a⊥b__________;(3)|a|2=__________.10.空间向量满足如下运算律：(1)(λa)·b=__________；(2)a·b=__________;(3)a·(b+c)=__________.|a|cos〈a,e〉a·b=0a·aλ(a·b)b·aa·b+a·c1.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是()A.{a+b，b-a，a}B.{a+b，b-a，b}C.{a+b，b-a，c}D.{a+b+c，a+b，c}解：由已知及向量共面定理，易得a+b，b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C.C2.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，向量、、是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解：因为，所以、、、共面.AB�AD�BD�C''ADABBDBD��BD�AD�AB�3.已知四边形ABCD中，=a-2c，=5a+6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=.解：因为，又，两式相加，得AB�CD�EF�EFEAABBF�EFECCDDF�3a+3b-5c因为E是AC的中点，故.同理，.所以=6a+6b-10c,所以=3a+3b-5c.2()()()EFEAECABCDBFDF�0EAEC�0BFDF�2(2)(568)EF(ABCD)acabc�EF�1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：证明：因为平行六面体的六个面都是平行四边形，所以，，1112ACABADAC�题型1向量关系的化简与证明ACABAD�11ABABAA�11ADADAA�所以点评：向量的化简与证明实际上就是转化为向量的加减运算及其逆运算，利用向量的合并或分解进行转化，以求得结果.111112()2()2ACABADABADAAACCCAC��在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列表达式：(1)；(2).解：(1)原式===(2)原式=1111ABBB-DADD-BC�11AC-ACAD-AA�1ABBB�111ADDD-BC�1111ABBBBCDD-BCABBBDD�1111ABBB-DDABBB-BBAB.�111111CCADDDADAD.�2.在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分所成的比为，N分A1D所成的比为2.设=a，=b，AA1=c，试用a，b，c表示.解：如图，连结AN，则.由已知四边形ABCD是平行四边形，故=a+b.又AC�题型2向量的基底表示AB�AD�MN�MNMAAN...
