§2三角变换与解三角形真题热身1．(2011·重庆)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A．43B．8－43C．1D．23解析由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.① a2＋b2－c2＝2abcosC，故方程①化为2ab(1＋cosC)＝4.∴ab＝21＋cosC.又 C＝60°，∴ab＝43.A2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°解析由sinC＝23sinB，根据正弦定理，得c＝23b，把它代入a2－b2＝3bc得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32，又 0°
B>C⇔a>b>c⇔sinA>sinB>sinC.(3)a＝bcosC＋ccosB.分类突破一、三角变换及求值例1已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.(1)求tan2α的值；(2)求β的值．解(1)由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又 cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，又0<β<π2，所以β＝π3.归纳拓展“角”是考查三角函数的主要内容，三角函数的化简求值要通过寻求角与角之间关系的特殊性来进行求解，求解中要注意已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换等，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)等．其基本的思维过程为：寻找角之间的关系，确定角的范围，求三角函数值．变式训练1(2011·天津)已知函数f(x)＝tan(2x＋π4)．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f(α2)＝2cos2α，求α的大小．解(1)由2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π8＋kπ2，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠π8＋kπ2，k∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f(α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2(cos2α－sin2α)，整理得sinα＋cosαcosα－sinα＝2(cosα＋si...
