第37讲│空间几何体的表面积和体积第第3737讲空间几何体的表面积讲空间几何体的表面积和体积和体积知识梳理第37讲│知识梳理1．柱体、锥体、台体的表面积(1)多面体的表面积①我们可以把多面体展成___________，利用__________求面积的方法，求多面体的表面积；②棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各__________之和，表面积是______________之和，即________与________之和．平面图形平面图形侧面面积各个面的面积侧面积底面积第37讲│知识梳理(2)旋转体的表面积公式名称图形侧面积表面积圆柱S圆柱侧＝________S＝_____________或S＝______________圆锥S圆锥侧＝__________S＝_________或S＝_________2πrl2πr2＋2πrl2πr(r＋l)πrlπr2＋πrlπr(r＋l)第37讲│知识梳理名称图形侧面积表面积圆台S圆台侧＝___________S＝____________________球S＝________π(r＋r′)lπ(r′2＋r2＋r′l＋rl)4πR2第37讲│知识梳理2.柱体、锥体、台体的体积(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝________；(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝________；(3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为S′、S，高为h，则体积V＝__________________；(4)设球半径为R，则球的体积V＝________.注：对于一些不规则几何体，常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体求体积．Sh13Sh13(S′＋S′S＋S)h43πR3要点探究第37讲│要点探究►探究点1空间几何体的表面积和体积的计算例1(1)[2010·安徽卷]一个几何体的三视图如图37－1所示，该几何体的表面积是()A．372B．360C．292D．280第37讲│要点探究(2)一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图37－2所示，则容器的容积为()A.2π3B.2πC.8D.8－2π3第37讲│要点探究例1（1）[思路]解题的切入点是把三视图还原为直观图，把三视图中的条件转化为直观图的条件，根据各面的特征分别求面积，再求表面积．B[解析]由三视图可知，该几何体是由两个长方体构成的组合体，上面的长方体的长为6、宽为2、高为8；下面的长方体的长为10、宽为8、高2，所以该几何体的表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的4个侧面积之和，即S＝(10×8＋10×2＋8×2)×2＋(8×6＋8×2)×2＝360，故选B.第37讲│要点探究(2)[思路]由三视图判断容器的形状是一个倒置的圆锥，根据三视图的条件可以确定容器的半径与高，代入体积公式求解．A[解析]由三视图可知，几何体为正方体内倒置的圆锥(如图)，轴截面是等腰三角形，其底面的半径为1，高为2，故容器的体积为V＝13×π×12×2＝2π3.第37讲│要点探究[点评]在以三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积是高考新课标卷的热点题型，解题的关键是由三视图确定直观图的形状，以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用表面积公式求解；另外，组合体的表面积的重合部分容易产生重复计算的错误．下面变式题是旋转体的表面积的计算问题：第37讲│要点探究如图37－3所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积．第37讲│要点探究[思路](1)有关球的计算的关键是求出半径，球外接于正四棱柱，正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线长等于球的直径．[解答](1)设正四棱柱的底边长为a，则V＝Sh＝a2h＝a2·4＝16，∴a＝2.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的顶点都在球面上，过相对的侧棱AA1、CC1及球心O作截面，对角线AC1就是球的直径，设球的半径为R，则2R＝22＋22＋42＝26，∴R＝6，S球＝4πR2＝4π·(6)2＝24π，故这个球的表面积为24π.第37讲│要点探究已知某几何体的俯视图是如图37－4所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.第37讲│要点探究[解答]由已知三视图的条件可得，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形(如图四棱锥P－ABCD所示)．(1)该几何体的体积为V＝13·S矩形·h＝13×6×8×4...
