高三数学大一轮复习 4.2同角三角函数及三角函数的诱导公式课件VIP免费

§4.2同角三角函数及三角函数的诱导公式基础知识自主学习要点梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与α角终边的关系角π－απ2－απ2＋α图示与α角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y＝x对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα[难点正本疑点清源]1．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例如： sinα＝yr，cosα＝xr，∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2r2＝1.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．2．三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质三角函数诱导公式fk2π＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α<2π；②转化为锐角．基础自测1．cos－113π＝________.解析cos－113π＝cos－4π＋π3＝cosπ3＝12.122．已知cos(π＋x)＝35，x∈(π，2π)，则tanx＝________.解析 cos(π＋x)＝－cosx＝35，∴cosx＝－35<0.∴x∈π，3π2.此时sinx＝－45，∴tanx＝43.433．(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________.解析 α是第二象限的角，∴cosα<0.又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα＝－12，∴cosα＝－255.2554．已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝________.解析sinα－23π＝sin－π2－π6－α＝－sinπ2＋π6－α＝－cosπ6－α＝－23.235．cos(－2009π)的值为()A.12B．－1C．－32D．0解析cos(－2009π)＝cos(－2010π＋π)＝cosπ＝－1.B题型分类深度剖析题型一同角三角函数的基本关系式的应用例1已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．思维启迪(1)由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1，可求sinα，cosα的值；(2)1＝sin2α＋cos2α，分子、分母同除以cos2α即可．解(1)方法一联立方程sinα＋cosα＝15①sin2α＋cos2α＝1②由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0. α是三角形内角，∴sinα>0，∴sinα＝45cosα＝－35，∴tanα＝－43.方法二 sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925. sinαcosα＝－1225<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝75，由sinα＋cosα＝15sinα－cosα＝75，得sinα＝45cosα＝－35，∴tanα＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α， tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝...