高三数学高考专题七 曲线的性质和轨迹问题 试题VIP免费

专题七曲线的性质和轨迹问题【考点搜索】【考点搜索】1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质；2.求曲线的方程的常见方法：①待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数；②定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系;③代入法;④参数法.【课前导引】【课前导引】1.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()12222byax)0,0(ba13D.213C.13B.324A.[解析]设的中点为P，依题意，,212aPFPF13132,23aceacc故[解析]设的中点为P，依题意，,212aPFPF13132,23aceacc故[答案]D2.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；kPBPA||||),(21OBOAOP③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；02522xx有与椭圆13519252222yxyx④双曲线相同的焦点.其中真命题的序号为_________（写出所有真命题的序号）[解析]①的轨迹可能是双曲线的一支，也可能是一条射线，也可能无轨迹；②的轨迹是圆；计算知③④正确。【链接高考】【链接高考】.||||||,0,,,,1:,,)05(221222221OPOBOAPFPFOCPCBAbyaxCFF已知坐标原点为上一点是椭圆的右顶点和上顶点圆分别是椭、的左右焦点圆是椭设如图届长郡月考题xyAPF1F2OB[例1](1)设椭圆的离心率为，证明(2)证明：(3)设求椭圆的方程.;212e;PAOP,15PAxyAPF1F2OB[解析],,0)1(221cOFOPPFPF知由,,),,(,22112rPFrPFyxPcab设依题设有22122221212,4,2brrcrrarr有则.,22cbycyb由面积相等得212222ecacbcbyxyAPF1F2OB(另：由ab=c2知：)21251,21111)(222244222422eeeeeccaacba或解出xyAPF1F2OB(2)由(1)有cby2bcbccbbacbccbcycx224224424222),(),,(22cbbaPAcbbP那么则xyAPF1F2OB0)1()(222222222224224cccbaccbbccbbabcbbabPAOPPAOPxyAPF1F2OB1515)3(bPA即215:,012242eeecab解得得由22,222222aacbacbac有则xyAPF1F2OB1526422yx故所求椭圆的方程为xyAPF1F2OB1526422yx故所求椭圆的方程为[说明]本题采用了待定系数法求轨迹方程.xyAPF1F2OB[例2]在ABC中,已知B(-3,0),C(3,0),的垂心H分有向线段所成的比为ABCDBCAD,于AD.81(1)分别求出点A和点H的轨迹方程;??1,1,1),0,1(),0,1()2(为什么能成等差数列吗那么设QHPQHPQP[解答]设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为(x1,y1),则D的坐标为(x1,0),由H分有向线段知所成的比为81AD1198yyxxACBH又13311xyxy,13893xyxy故),0(18922yyx即此即点H的轨迹方程.得代入上式再将,9811yyxx,18816492121yx,181892121yx即).0(1818922yyx的轨迹方程为故点A(2)由(1)可知,P,Q分别为椭圆的左右焦点,设H(x,y),且数列,则能成等差QHPQHP1,1,1但,112HQHPPQ故,313,313,2xHQxHPPQ27,31313131222xxx化简得.1,1,1不可能成等差数列故QHPQHP!,03191822矛盾但此时xy.1,1,1不可能成等差数列故QHPQHP!,03191822矛盾但此时xy[说明]本题采用了代入法求轨迹方程.[例3]如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明∠PFA=∠PFB.ABPFOyxl[解答](1)设切点A、B坐标分别为))((,(),(01211200xxxxxx和;02:200xyxxAP的方程为切线;02:211xyxxBP的方程为切线1010,2:xxyxxxPPP点的坐标为解得ABPFOyxl所以△APB的重心G的坐标为,310PPGxxxxx,2433210212010PPPGyxxxxxyyyyABPFOyxl).24(31,02)43(22xxyxyx即:,,432迹方程为的轨从而得到重点上运动直线在由点所以GlP...