2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系【课标要求】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4解决一些简单的相关问题．【核心扫描】1．理解空间中两直线的位置关系，公理4，等角定理及异面直线所成的角，并掌握依据定义、定理对空间图形进行推理论证、计算的方法．(重点)2．异面直线及其所成的角的求解，空间图形问题转化为平面图形问题的思想方法．(难点)自学导引1．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面直线相交直线：同一平面内，；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同，没有公共点.在任何一个平面内有且只有一个公共点想一想：若a⊂α，b⊂β，那么a与b一定是异面直线吗？提示不一定，两直线是异面直线，则不同在任何一个平面内．当a⊂α，b⊂β时，可能存在平面γ，使a⊂γ且b⊂γ，即a与b共面．2．异面直线(1)定义：的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．不同在任何一个平面内3．平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：a∥bb∥c⇒.4．等角定理空间中如果两个角的两边分别，那么这两个角相等或互补．互相平行a∥c对应平行5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的(或)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：．(3)当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b.锐角直角(0°，90°]90°想一想：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示根据等角定理可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．名师点睛1．关于异面直线(1)对异面直线概念理解须注意的问题①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．(2)异面直线的判定方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．③判定异面直线的常用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．2．求两异面直线所成的角需注意的问题(1)a与b所成角的大小与点O无关，为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．例如取在直线b上，然后过点O作直线a′∥a，a′与b所成的角即为异面直线a与b所成的角，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直线的线段的端点或中点．(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建立了联系，促进了数学学科间知识的渗透．(3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．3．求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．(2)证明：证明作出的角就是要求的角．(3)计算：求角度，常利用解三角形．(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．题型一空间中直线位置关系的判断【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[思路探索]本题考查对空间中直线位置关系的理解．首先看两直线是否有交点从而判断是否相交，然后判断没有交点的两直线是否共面，如果不共面，则两直线异面．解析直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，...
