●基础知识1．等差数列前n项和Sn＝＝na1＋d，推导方法：；等比数列前n项和Sn＝推导方法：．倒序相加法乘公比，错位相减2．常见数列的前n项和：①1＋2＋3…＋＋n＝②2＋4＋6…＋＋2n＝；③1＋3＋5…＋＋(2n－1)＝；④12＋22＋32…＋＋n2＝⑤13＋23＋33…＋＋n3＝⑥无穷等比(|q|＜1)数列各项和S＝＝.n2＋nn23．数列求和的常见方法有：(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：例如：等差数列前n项和公式的推导方法．4．常见的拆项公式有：(7)n·n！＝－n！；(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．(n＋1)！●易错知识一、利用公式求和不注意项数易出错1．S＝1＋2＋22＋23＋…＋2n＝________答案：2n＋1－1二、不注意分类易出错2．S＝a＋2a2＋3a3＋…nan(aR)∈＝________.答案：A答案：B3．(教材改编题)数列9,99,999…，的前n项和为()解析： 9＝10－1,99＝102－1,999＝103－1，…，∴所求数列的和为Sn＝(10－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋103＋…＋10n)－n答案：D4．(2011·原创题)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2.则【例1】已知{an}是等比数列，a1＝2，a4＝54；{bn}是等差数列，b1＝2，b1＋b2＋b3＋b4＝a1＋a2＋a3.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的公式；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)设Un＝b1＋b4＋b7…＋＋b3n－2，其中n＝1,2，…，求U10的值．[解析](1)设数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q3＝＝27，q＝3，所以数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1，数列{an}的前n项和公式Sn＝＝3n－1，(2)设数列{bn}的公差为d，b1＋b2＋b3＋b4＝4b1＋d＝8＋6d.由b1＋b2＋b3＋b4＝a1＋a2＋a3＝2＋2×3＋2×32＝26.得8＋6d＝26，d＝3，所以bn＝b1＋(n－1)d＝3n－1.(3)b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以U10＝10b1＋×3d＝425.(2009·四川)求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19…，的前n项和．分析：依其结构特征知，只须求出和式中的最后一个奇数，便知其和为前n个奇数之和，又由于数列中各项的奇数的个数与项数一致，从而知各项的奇数个数构成的数列1,2,3，…，n，可以由此入手解答．解析：解法一：由于该数列的前n项共有1＋2＋3＋…n＝个奇数，最末一个数字应为2·－1＝n2＋n－1，∴Sn＝解法二：依该数列的排列特征可知，第n项an中的第一个奇数是第1＋2＋3＋…＋(n－1)＋1＝－1个奇数，这个奇数是－1＝n2－n＋1，从而推知第n项an中的第n个(末位)数字是n2－n＋1＋2(n－1)＝n2＋n－1，故Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝13＋23＋33＋…＋n3＝总结评述：根据所给的结构特征，寻找项数之间的规律，是实现问题转化的主要途径．而转化求和又是研究和探求数列求和问题的重要手段.【例2】(2009·北京朝阳4月)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，在直线y＝上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(nN∈*)，且b3＝11，前9项和为153.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设cn＝数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞对一切nN∈*都成立的最大正整数k的值；注意到n＝1时，a1＝S1＝6，而当n＝1时，n＋5＝6，所以an＝n＋5(nN∈*)．又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，即bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(nN∈*)，所以{bn}为等差数列，于是＝153.而b3＝11，故b7＝23，d＝＝3，因此bn＝b3＋3(n－3)＝3n＋2，即bn＝3n＋2(n∈N*)．因此Tn单调递增，故(Tn)min＝令得k＜19，所以kmax＝18.在数列{an}中，又bn＝求数列{bn}的前n项的和．∴数列{bn}的前n项的和总结评述：对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常采用“裂项求和法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去了哪些项，保留哪些项.错位相减法就是推导等比数列前n项和公式的方法．一般地，若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则求{an·bn}的前n项和一般采用此法．此法有特定的操作程序，要注意熟练掌握基本技能．【例3】(2007·山东，17)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，nN∈*.1)求...
