第七章三角函数7.1.2弧度制及其与角度制的换算学习目标1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.2.理解1弧度的角及弧度的定义.3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.4.掌握弧度制中的弧长公式和扇形面积公式.重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念.知识梳理一、度量两种角的制度（弧度制与角度制）角度制定义用度数作为单位来度量角的单位制1度角用周角的1度角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角.它的单位符号时rad，读作弧度.注意：（1）和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量的制度，而角度制是以“度”为单位来度量的制度.（2）以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可省略不写，而只写这个角对应的弧度数，例如，α＝2表示α是2rad的角；表示rad的角的正弦.但以度为单位表示角时，“°”不能省略.（3）1弧度的角是指等于半径长的圆弧所对的圆心角，而1度的角是指周角的的角，二者大小显然不同.二、弧度制与角度制的换算（1）正角的弧度数是一个正数；（2）负角的弧度数是一个负数；（3）零角的弧度数是0.在角度制与弧度制互化时，应注意：因为半径为r的圆周长为2πr，所以周角的弧度数是＝2π，于是360°＝2πrad，因此180°＝πrad.由此容易得到弧度制与角度制的换算公式：设一个角的角度数为n，弧度数为α，则.由此不难知道，0rad角就是0°角，它的终边在x轴的正半轴上；rad角就是90°角，它的终边在y轴的正半轴上；πrad角就是180°角，它的终边在x轴的负半轴上；rad角就是270°角，它的终边在y轴的负半轴上.注意：弧度数的规范表示：以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成nπ的形式，尽量不出现小数，如67°30′＝πrad，不必化为0.375πrad，除非需要.同样地，不必把π写成小数，如45°＝rad，不必写成45°≈0.785rad.巧记：数形结合记忆弧度数结合直角坐标平面记忆各终边的角的弧度数如下：三、扇形的弧长与面积公式由弧度制的定义可知，在半径为的圆中，若弧长为的弧所对的圆心角为rad，则α＝，由此可得即弧长等于其所对的圆心角的弧度数与半径的积..扇形的面积为·.又因为，所以.【注意】（1）采用弧度制时，弧长公式和扇形面积公式简单明了，但是要注意使用它们的前提是“弧度制”，若角是以“度”为单位，则应先化为弧度，再利用公式.（2）由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于四个量，可“知二求二”.这实质上是方程思想的应用.常考题型一、弧度制例1下列命题中，正确的是.①“度”和“弧度”是度量角的两种单位；②1rad的角等于1度的角；③1°的角是周角的，1rad的角是周角的；④180°的角一定等于πrad的角.【解析】对于①，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，需要注意的是：1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，弧度是角的度量单位，而不是长度的度量单位，故①正确；1rad＝，故②错误；对于③，用角度制时，周角是360°，因此1°的角是周角的；根据弧度数的计算公式可知周角的弧度数为＝2π，因此1rad的角是周角的，故③正确；对于④，180°的角即平角，弧度数为＝π，故④正确.【答案】①③④训练题1.在大小不同的圆中，1rad的圆心角所对的（）A.弦长相等B.弧长相等C.弦长等于所在圆的半径D.弧长等于所在圆的半径2.［2019·贵州安顺高一期末］下列说法中错误的是.①弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系；②1弧度是长度为半径长的弧；③1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小；④用弧度作角的单位仅能表示正角.D②④二、角度与弧度的互化例2请将下列各角在角度和弧度之间互化：（1）1080°；（2）-750°；（3）-79；（4）512.【解】（1）（方法1）1080°＝1080×180＝6π.（方法2）设1080°角的弧度数为α，则1080180＝，所以α＝6π.即1080°＝6π.（2）（方法1）-750°＝-750×180＝-256.（方法2）设-750°角的弧度数为α，则750180＝，所以α＝-256.即-750°＝-256.（3）（方法1）-79＝-79×180＝-140°.（方法2）设-7...
