§4.5两角和与差的三角函数基础知识自主学习要点梳理1.和、差角公式β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=(S(α+β))tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ(T(α-β))tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ(T(α+β))sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ-sinαsinβ前面4个公式对任意的α,β都成立,而后面两个公式成立的条件是α≠kπ+π2,β≠kπ+π2,k∈Z,且α+β≠kπ+π2(T(α+β)需满足),α-β≠kπ+π2(T(α-β)需满足)k∈Z时成立,否则是不成立的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用公式T(α±β)处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法来解.2.二倍角公式sin2α=;cos2α===;tan2α=2tanα1-tan2α.3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α如T(α±β)可变形为:tanα±tanβ=,tanαtanβ=1-tanα+tanβtanα+β=tanα-tanβtanα-β-1.4.函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)或f(α)=a2+b2cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.tan(α±β)(1tan∓αtanβ)[难点正本疑点清源]1.正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效.如cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ可用向量推导,cos(α+β)只需转化为cos[α-(-β)]利用上述公式和诱导公式即可.2.辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式,可以对角进行适当的拆分变换:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·α+β2,α+β2=α-β2-α2-β等.基础自测1.(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角,sinα=35,则tan2α=________.解析由于α为第二象限的角,且sinα=35,∴cosα=-45.∴tanα=-34,∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×-341--342=-321-916=-247.2472.已知:0<α<π2,-π2<β<0,cos(α-β)=35且tanα=34,则sinβ=________.-7253.cos43°cos77°+sin43°cos167°=________.解析cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(77°+43°)=cos120°=-12.124.已知cosθ-π4=35,θ∈π2,π,则cosθ=________.-2105.(2010·全国Ⅱ)已知sinα=23,则cos(π-2α)等于解析由诱导公式,得cos(π-2α)=-cos2α. cos2α=1-2sin2α=1-2×49=19,∴cos(π-2α)=-19.-19题型分类深度剖析题型一利用和、差、倍角公式求值例1已知sinα=513,α∈π2,π,(1)求sinα+π4,cosα-π6,tanα+π3的值;(2)求sin2α,cos2α,tan2α的值.思维启迪由题设,需先求出cosα的值,再运用和(差)角、二倍角公式.解由sinα=513,α∈π2,π,可得cosα=-1213,tanα=-512.(1)sinα+π4=sinαcosπ4+cosαsinπ4=513·22-1213·22=-7226,cosα-π6=cosαcosπ6+sinαsinπ6=-1213·32+513·12=5-12326,tanα+π3=tanα+tanπ31-tanαtanπ3=-512+31+5312=1693-24069.(2)sin2α=2sinαcosα=-120169,cos2α=2cos2α-1=119169,tan2α=sin2αcos2α=-120119.探究提高本题是直接利用公式求值,思维难度不大,但计算要准确.同时,在给出正弦后,要先求余弦和正切,这就需要考虑符号,这是易错点,请同学务必注意.变式训练1.已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则cosα+π4=________.-5665题型二三...