一、配方法形如y=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域,要注意f(x)的取值范围.例1(1)求函数y=x2+2x+3在下面给定闭区间上的值域:二、换元法通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).例2求下列函数的值域:(1)y=x-x-1;(2)y=x+2-x2;①[-4,-3];②[-4,1];③[-2,1];④[0,1].[6,11];[2,11];[2,6];[3,6].34[,+∞)[-2,2]三、判别式法例5求函数y=的值域.x2+x+1x2-x主要适用于形如y=(a,d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).ax2+bx+cdx2+ex+f(1)y=;x2+12x例6求下列函数的值域:(2)y=(x>1).x-1x2-2x+5[-1,1][4,+∞)能转化为A(y)x2+B(y)x+C(y)=0的函数常用判别式法求函数的值域.[1-,1+]2332331.求下列函数的值域:值域课堂练习题(1)y=;x-23x+1(2)y=2x+41-x;(3)y=x+1-x2;(1)(-∞,3)∪(3,+∞)(2)(-∞,4](4)[3,+∞)(4)y=|x+1|+(x-2)2;(3)[-1,2](6)y=;x2+x+12x2-x-2(8)y=x+x+1;(8)[-1,+∞)(6)[,]1+21331-21332.若函数f(x)=log3的定义域为R,值域为[0,2],求m与n的值.mx2+8x+nx2+1解:∵f(x)的定义域为R,∴mx2+8x+n>0恒成立.∴△=64-4mn<0且m>0.mx2+8x+nx2+1令y=,则1≤y≤9.mx2+8x+nx2+1问题转化为x∈R时,y=的值域为[1,9].变形得(m-y)x2+8x+(n-y)=0,当m≠y时,∵x∈R,∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.整理得y2-(m+n)y+mn-16≤0.依题意m+n＝1+9,mn-16=1×9,解得m=5,n=5.当m=y时,方程即为8x+n-m=0,这时m=n=5满足条件.故所求m与n的值均为5.•求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。例1求函数如图，∴y∈[-3/4,3/2].21(11)2yxxx的值域。分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。2minmax13(),1,1,2433,1,,42yxxyxy解：1x=，2oxy-113/2-3/41/2例2求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。21223xxx2xy=的值域。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故≠1/2.当2y-1≠0,即y≠1/2时，因xR,∈必有△=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0得3/10≤y≤1/2,综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.例3求下列函数的值域：（1）y=5-x+√3x-1；分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。21解：（1）令t=3x-10,有x=(t+1),3min36565,y-,.21212ty，故2211365于是y=5-(t+1)+t=-(t-)+,33212
