如东县马塘中学高一年级数学学科暑假作业7月21日姓名学号函数的周期性——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一、知识梳理1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)二、自我检测1.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为π-52.是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是43.数列中由已知，周期为6。4.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）=0由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.5.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin=.6.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周期87.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)=-f(x+3)∴f(x)=-f(x+3)=f(x+6).周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)=-f(-3+3)=-68.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)=。，周期T=6，F(2007)=f(3)=69.已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）∵x∈(1,2),则-x∈(-2,-1),∴2-x∈(0,1),∵T=2,是偶函数∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x∈(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)如图：x∈(0,1),f(x)=x+1.∵是偶函数∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.10.f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。解：周期为8，法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。三.小结与反思:1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;
