1全等三角形培优竞赛讲义（一）知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．DOECBA4321FDOECBA【解析】BECDBC，理由是：在BC上截取BFBE，连结OF，利用SAS证得BEO≌BFO，∴12， 60A，∴1901202BOCA，∴120DOE，∴180ADOE，∴180AEOADO，∴13180， 24180，∴12，∴34，利用AAS证得CDO≌CFO，∴CDCF，∴BCBFCFBECD．2【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?NEBMADGNEBMAD【解析】猜测DMMN.过点M作MGBD∥交AD于点G，AGAM，∴GDMB又 120ADMDMA∠，120DMANMB∠∠∴ADMNMB∠∠，而120DGMMBN∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMANCDEBMA【解析】猜测DMMN.在AD上截取AGAM，∴DGMB，∴45AGM∠∴135DGMMBN∠∠，∴ADMNMB∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．【例3】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.FEDCBAMFEDCBA【解析】延长CB至M，使得BM=DF，连接AM. AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.3【例4】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．FABCDEOOEDCBA【解析】因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAE60BAD，则BAEDAC，所以BAEDAC≌，则有ABEADC，AEBACD，BEDC．在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADFABO≌，ACFAEO≌．进而由AFAO．得AFOAOF；由AOEAFO可得AOFAOE，即OA平分DOE．【例5】(北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．NMDCBAEABCDMN【解析】如图所示，延长AC到E使CEBM.在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE，所以BDMCDE≌，故MDED.因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC.又因为BDMCDE，所以60MDNEDN.在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE，所以MNDEND≌，则NEMN，所以AMN的周长为2.【例6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECEDBAABDEFC4【解析】延长DE至F，使得EF=BC，连接AC. ∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC中...
