二次函数与几何的综合靖江外国语学校殷建涛近年来，二次函数与几何的综合题成为中考的热点.解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，相互渗透.下面就二次函数与三角形、四边形、圆的综合运用分别举例分析.1.二次函数与三角形例1.（苏州2014）如图，二次函数y=a（x22mx3m﹣﹣2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．分析:（1）由C在二次函数y=a（x22mx3m﹣﹣2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与m的关系式．（2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．解：（1）将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x22mx3m﹣﹣2），则﹣3=a（003m﹣﹣2），解得．（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．由a（x22mx3m﹣﹣2）=0，解得则A（﹣m，0），B（3m，0）． CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，﹣3）． AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN， ∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴．设E坐标为∴，∴x=4m，∴E（4m，5）， AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴,即为定值．（3）如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G． tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴，∴OG=3m． GF===4，AD===3，∴． ，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．点评:本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度较大，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目.2.二次函数与四边形例2.(连云港2014)已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）．（1）求此二次函数关系式；（2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1l∥，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．（3）若过点A作AGx⊥轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明OGBE∥．分析:（1）由二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解，即可求得此二次函数关系式；（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，需要分类讨论，避免漏解：①若CD为平行四边形的对角线，如图21﹣所示；②若CD为平行四边形的边，如图22﹣所示；（3）首先过点E作轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得△OAGBHE∽△，则可得∠AOG=HBE∠，继而可证得OGBE∥．解:（1）二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），∴，解得：，∴此二次函数关系式为：y=x24x+3﹣；（2）假设以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形．①若CD为平行四边形的对角线，如答图21﹣．过点D作DMAB⊥于点M，过点E作ENOC⊥于点N，y=x 24x+3=﹣（x2﹣）21﹣，∴点D（2，﹣1），点C（0，3），DM=1∴，l 1l∥，∴当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形，ECF+CFD=180°∴∠∠，OCF+OFC=90° ∠∠，ECN+DFM=90°∴∠∠，DFM+FDM=90° ∠∠，ECN=FDM∴∠∠...
