正弦定理第课时VIP免费

第一章:解三角形1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?1.1.1正弦定理sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABC1.1.1正弦定理sin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1正弦定理D方法二：外接圆法sinsinsinabcABC（R为外接圆半径）sinsin2cCCR2sincRC2,2sinsinabRRAB同理，OC/cbaCBAOC/cbaCBA2R/090CCBAC，RCcBbAa2sinsinsin正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即作用:1.1.1正弦定理(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.作用:(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.作用:(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。正弦定理的应用sinsinsinabcABC正弦定理：1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角定理的应用例1：在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。，解三角形.（即求出其它边和角）解：B180(AC)105sinsinbcBC由正弦定理得b=CBcsinsin=30sin105sin10（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角sinsinacAC由正弦定理sinsincAaC得=21030sin45sin10BACbc)26(5a根据三角形内角和定理，（1）在△ABC中，已知b=，A=，B=，求a。34560（2）在△ABC中，已知c=，A=，B=，求b。37560解：∵∴BbAasinsinaBAbsinsin=60sin45sin3=2解：∵=45)6075(180又∵CcBbsinsin∴CBcbsinsin45sin60sin32230180()CAB（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角练习：例2在ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B和c.解：∵sinB＝≈0.8999bsinAa∴B1＝64°，40°ABCbB1B2(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.∴B1＝64°，C＝76°,c=30∴B2＝116°，C＝24°,c=13B2＝116°00,,0180baBAB且（三角形中大边对大角）在例2中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb例2在ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B和c.(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinAa12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°应舍去.60°2020√3ABC（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinAaB＝90°.B60°AC20（3）b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝＝，bsinAa2√332√33∵>1，∴无解.60°20AC已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?思考：正弦定理已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．Ａ为锐角ab一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab正弦定理ACabab一解小结2.正弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知两角及一边；（2）已知两边及其中一边的对角.(此时可能有一解、二解、无解）1.正弦定理是解斜三角形的工具之一.＝＝asinAbsinBcsinC＝2R正弦定理√230°△ABC中，（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，则a＝____.（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，则B＝____.（3）已知c＝2，A＝45°，a＝，则B＝_____________.2√6375°或15°探究课题引入时问题(2)的解决方法ABCbc解决问题bsinβAB=sin(α+β)