第四节两角和与差的三角函数重点难点重点：掌握两角和、两角差、二倍角公式，并运用这些公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等．难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．知识归纳1．在两角和与差的公式中，以公式C(α±β)为最基本，其推导过程应熟练掌握．教材用平面向量对C(α－β)进行了推导，类似地也可以用平面向量方法推证C(α＋β)．下面用对称和两点间的距离公式给出C(α＋β)的推证过程，望细心体会其思路方法．如上图，点P1，P2，P3，P4的坐标分别为P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))，由P1P3＝P2P4及两点间距离公式得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，整理得cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，本公式中α，β对任意角都成立．也可以先用此法导出C(α－β)．2．公式之间的关系及导出过程3．和、差、倍角公式(1)Cα±β：cos(α±β)＝_________________.(2)Sα±β：sin(α±β)＝__________________.(3)Tα±β：tan(α±β)＝______________.(4)S2α：sin2α＝_____________.(5)C2α：cos2α＝_________________________________.(6)T2α：tan2α＝__________.cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβtanα±tanβ1∓tanα·tanβ2sinαcosαcos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanα1－tan2α只有③和⑥对角α，β须附加限制条件，使其有意义．如⑥中须α≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4.(k∈Z)．由于cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.解题时应根据不同的函数名称的需要，选取不同的形式．公式的双向应用分别起缩角升幂(1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α)和扩角降幂(sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2)的作用．4．asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba.φ的终边所在象限由a，b的符号来确定．误区警示1．本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟悉公式的来龙去脉，这样才能准确地应用公式．特别是公式中的“＋”，“－”号要熟记，二倍角的余弦也是易记混的地方，还要注意公式的逆用、变形运用．2．三角变换常见的有变角、变名、变幂、变结构(如和积互变)等．应特别注意变换的等价性，解题过程中要善于观察差异，寻找联系，实现转化．3．在三角函数的求值、求角问题中，常常要先讨论(估计)角的取值范围，依据此范围来求角的值或讨论函数的符号．解三角函数求值(角)题，千万不要不假思索，盲目就下结论．一、公式的逆用与变形运用如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)，cosα＝sin2α2sinα，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，cos2α2＝1＋cosα2，sin2α2＝1－cosα2，tan2α2＝1－cosα1＋cosα.二、解题技巧1．在三角函数的化简、求值与证明中，常常对条件和结论进行恰当变换，以满足应用公式的条件．常见的有：(1)角的变换，注意拆角、拼角技巧(如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β，75°＝45°＋30°等等)；(2)名称变换(如应用π2±α正余互变，切割化弦，应用平方关系sin2α＋cos2α＝1正弦、余弦互变、弦化切等等)；(3)幂的变换(升幂缩角1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α，降幂扩角sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2等)；(4)1的代换(1＝sin2α＋cos2α＝tanα·cotα＝sinα·cscα＝cosα·secα＝tan45°等)．(5)结构变换(如，形如asinα＋bcosβ的式子都可以通过合理的变形化为只含一个角的三角函数形式a2＋b2sin(γ＋φ)，其中α、β都是γ的表达式，φ为常数)．总之，有关三角恒等变换解题时总的思路是：切化弦，消多元，角拼凑，1代换，引辅角，化一函，降高次，化特值，找差异，求联系．[例1]计算(tan10°－3)·sin40°.解析：原式＝sin10°－3cos10°cos10°·sin40°＝2sin10°cos60°－cos10°sin60°sin40°cos10°＝－2sin50...
