高考数学一轮总复习名师精讲 第18讲同角三角函数基本关系与诱导公式课件VIP专享VIP免费

第十八讲同角三角函数基本关系与诱导公式回归课本1.同角三角函数关系式是由三角函数的定义推导出来的，各恒等式“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义．2．同角三角函数关系式平方关系sin2α＋cos2α＝1倒数关系tanα·cotα＝1商数关系tanα＝sinαcosα3．诱导公式产生的背景：将角的范围扩展到实数集，又给予三角函数的定义后，由于在0°～90°间的角的三角函数值可以通过查表的方式求得，因此需要用公式将任意角转化为0°～90°间的角．设0°≤α≤90°，那么90°～180°间的角用α写成180°－α或90°＋α，180°～270°间的夹角用α写成180°＋α或270°－α，270°～360°间的角用α写成360°－α或270°＋α，以上写成的这些角的终边与α的终边可能不同，但它们的同名三角函数值只是符号上的差异，这给我们解决问题带来了许多方便．4．记忆诱导公式常用口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．其中，“奇、偶”是指“kπ2±α”(k∈R)中k的奇偶性，“符号”是把任意角α看成锐角时原函数值的符号．5．角α的终边与角180°＋α的终边关于原点对称，角α的终边与角－α的终边关于x轴对称．6．诱导公式的应用：求值、化简、证明．考点陪练1.α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα＝()A.15B．－15C.513D．－513解析：由tanα＝sinαcosα＝－512，sin2α＋cos2α＝1，及α是第四象限角，解得sinα＝－513，cosα＝1213.答案：D2．以下各式中可能成立的是()A．sinα＝cosα＝12B．cosα＝13且tanα＝2C．sinα＝12且tanα＝33D．tanα＝2且cotα＝－12解析：由sin2α＋cos2α≠1知A错．由tanα·cotα≠1，∴D错．由tanα＝2知sinα＝25，又cosα＝13， sin2α＋cos2α≠1，∴B错．由sinα＝12得cosα＝±32，∴tanα＝±33，当α为第一象限角时有tanα＝33，故选C.答案：C答案：A3．化简cotα－4π·cosα＋π·sin2α－3πtanπ＋α·cos3－α－π的结果是()A．1B．0C．－1D.12解析：原式＝cotα－cosα－sinα2tanα－cosα3＝cotαtanαtan2α＝1.答案：C4．cos－796π的值为()A．－12B.12C．－32D.32解析：cos－796π＝cos796π＝cos13π＋π6＝－cosπ6＝－32，故选C.5．(2011·天津十二区县重点学校联考)下列各选项中，与cos2008°最接近的数是()答案：CA.32B.22C．－32D．－22解析：cos2008°＝cos(360°×6－152°)＝cos152°，故cos2008°≈cos150°＝－32.类型一利用同角三角函数的基本关系式化简、求值解题准备：所谓化简就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是使项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．【典例1】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.[解析]由于表达式中涉及到的函数都是同一个角α的三角函数，故考虑采用同角三角函数基本关系式进行化简，又注意到次数比较高，故考虑到降次．原式＝sin2α＋cos2α2－cos4α－sin4αsin2α＋cos2α3－cos6α－sin6α＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2αcos2α＋sin2α＝23.[点评]利用同角三角函数的基本关系式化简三角表达式除从正面直接利用公式外，还要特别注意公式的逆用以及变形应用，常用到的两个技巧为：一是“1”的代换：平方关系的代换即1＝sin2α＋cos2α；倒数关系的代换即1＝tanα·cotα；二是“弦切互化”：把三角表达式中的弦函数化为切函数或者把切函数化为弦函数，究竟用哪种变化，由具体问题决定．探究：已知tanαtanα－6＝－1，求下列各式的值：(1)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α；(2)2cosα－3sinα3cosα＋4sinα.解析：由tanαtanα－6＝－1⇒tanα＝－tanα＋6⇒tanα＝3.(1)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α＝sin2α－3sinαcosα＋4cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－3tanα＋4tan2α＋1＝25.(2)2cosα－3sinα3cosα＋4sinα＝2－3tanα3＋4tanα＝－715.类型二利用同角三角函数的基本关系式证明恒等式解题准备：三角恒等式的证明方法灵活多样，可总结如下：①从一边开始直...