三垂线定理(06高考复习)复习回顾基础应用三垂线定理及其逆定理（一）PCBA能力拓展课堂练习一基本概念：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线”的含义：（1）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直定理内容分析：二、基础性练习：1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与斜线的位置关系是（）（A）垂直（B）异面（C）相交（D）不能确定2、如图四面体中，如果AB是直径，Ｃ为圆周上任意点且ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ．那么该四面体最多有多少个直角三角形（）（A）有一个直角三角形（B）有两个直角三角形（C）都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形DCPCBA三、例题分析：例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC⊥BD。证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO⊥平面BCD于O，连结BO， AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理）.同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，∴BD⊥OC， OC是AC的射影，∴BD⊥AC（三垂线定理）。OABCD例例2.2.如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11中，连中，连结结BDBD11，，ACAC，，CBCB11，，BB11AA，求证：，求证：BDBD11⊥⊥平面平面ABAB11CC ABCDABCD是正方形，∴是正方形，∴AC⊥BDAC⊥BD又又DDDD11⊥⊥平面平面ABCDABCD∴∴BDBD是斜线是斜线DD11BB在平面在平面ABCDABCD上上的的射影射影 ACAC在平面在平面ACAC内，∴内，∴BDBD11⊥AC⊥ACA1D1C1B1ADCB而而ABAB11，，ACAC相交于点相交于点AA且都在平且都在平面面ABAB11CC内∴内∴BDBD11⊥⊥平面平面ABAB11CC证明：证明：连结连结BDBD，，请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明BDBD11⊥AB⊥AB11连结连结AA11BB例3.如图所示,已知PA⊥平ABC,∠ACB=90°，AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、∆PQR为直角三角形。证明： PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直角三角形；ACPBQR∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直角三角形。√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则ab⊥（）⑷若a是平面α的斜线,bα,∥直线b垂直于a在平面α内的射影，则ab⊥（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则ab⊥（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则ab⊥（）四课堂练习1.判断下列命题的真假：面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b2.在正方体AC1中，求证：A1CBC⊥1，A1CB⊥1D1证明： 在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1B⊥1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影由三垂线定理知A1C⊥BC1.同理可证，A1CB⊥1D1CBA1B1C1ADD1CBA1B1C1ADD1小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们可以从以下三点加以理解:1°1°知识内容：三垂线定理及其逆定理；知识内容：三垂线定理及其逆定理；2°2°思想方法思想方法::转化的思想转化的思想,,转化的关键是转化的关键是::找平面的垂线找平面的垂线3°3°应用步骤应用步骤::分三个步骤分三个步骤-“-“一垂二射三一垂二射三证”证”１．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，DA=a，∠BDA=CDA=60°∠，∠BDC=90°，求BC的长。（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？五.布置作业：ACBA1B1C1DD1E·２...
