2.1.1合情推理（类比推理）（一）类比推理在学习空间向量时，我们是这样推测空间向量的基本定理的：由于平面向量与空间向量都是既有大小又有方向的量，并且两者具有类似(或一致)的运算性质(如都具有加法的交换律和结合律等)，因此根据平面向量的基本定理，我们推测空间向量也具有类似的性质：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在一个惟一的有序实数组x，y，z，使,,abcp�pxaybzc�这种根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比），类比属于合情推理。下面我们通过一个例子来得出类比的一般步骤。三角形与四面体有如下类似的性质：（1）三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间由平面所围成的最简单的封闭图形；（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形；四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形。根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：三角形四面体三角形两边之和大于第三边.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：三角形四面体三角形两边之和大于第三边.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心。四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心。根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：三角形四面体三角形两边之和大于第三边.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心。四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心。三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边。四面体的中截面（以任意三条棱的中点为顶点的三角形）的面积等于第四个面的面积的一半，且平行于第四个面。一般地，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可能为真。例1．找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质：（1）圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；（2）与圆心距离相等的两弦相等；（3）圆的周长C=πd（d是直径）；（4）圆的面积S=πr2.解：圆与球有下列相似的性质：（1）圆是平面上到一定点距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点距离等于定长的所有点构成的集合；（2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭曲面是围成的对称图形。通过与圆的有关性质类比，可以推测求的有关性质：圆球圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面圆球圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两个截面圆的面积相等圆球圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两个截面圆的面积相等圆的周长C=πd球的表面积S=πd2圆球圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两个截面圆的面积相等圆的周长C=πd球的表面积S=πd2圆的面积S=πr2球的体积V=πr3其中前三个类比得到的结论是正确的，最后一个猜测则是错误的。由此可见，类比的结论值具有或然性，即可能真，也可能假。虽然有类比所得到的结论未必是正确的，但它所具有的有特殊到特殊的认识功能，等于发现新的规律和事实却是十分有用的。例2．试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a=bac=bc;(2)a＞bac＞bc;(3)a=ba2=b2;等等(3)a＞ba2＞b2;等等问：这样猜想出的结论是否一定正确？答：(1)对；(2),(3)不对。（二）类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之...
